整式f(x)について、恒等式
f(x^2)=x^3f(x+1)-2x^4+2x^2
が成り立つ。
【問】
f(x)を決定せよ。
…………………………………………………………
いろいろやって
f(0)=f(1)=f(2)=0
となるからf(x)は
x,(x-1),(x-2)
の3つを因数の一部に持つというのはわかりました
…わかりましたけど
こっからどうすればいいのですか?
おそらく、直感ではf(x)は三次の式だと思うのです
それを証明して、そっからf(x)の式を絞り込んでいくのじゃないかなぁとは思うのですが…
どうやってf(x)が三次かを証明すればいいのかわかりません
ご協力お願いします
No.2ベストアンサー
- 回答日時:
そこまで解ってるなら、本当に、f(x)の次数を見つけるだけですね。
こういうときは、とりあえず、f(x)がn次式である、と、仮定してみます。
すると、左辺のf(x^2)は明らかに、(2n)次式、
右辺は、ちょいと考える必要があります。
x^3 * f(x+1) は、f(x+1)がn次式だから、(n+3)次式で、-2x^4 + 2x^3 は、4次式、
ということは、n≧1 のときは、(n+3)次式 だけど、n = 0 のときは、4次式、という、場合分けが必要、
ただ、n = 0 (0次式というのは、定数項だけ、ということ、念のため)だと、左辺が、0次式になってしまって、等式が成り立ちません。
そこで、右辺は(2n)次式で、左辺は(n+3)次式、方程式として、たまたま、この等式を満たすxの値があるか、ではなく、恒等式として、xがどんな値でも、この等式が成り立つ、という話をしているので、次数は等しくないといけない、つまり、2n=n+3、
これを解けば、n=3となるので、f(x)は3次式です。(これで、n=2と出たりしてたら、この計算か、因数求めた計算にミスがあるはずですね^^)
既に、解っておられるように、x(x-1)(x-2) がf(x)の因数なので、f(x) = ax(x-1)(x-2) (aは定数で、a≠0) とおける、
で、元の式に代入して、aの値を求める。
老婆心で、ちょいと付け加えておくと、代入した式・
a*x^2*(x^2-1)(x^2-2) = x^3*a(x+1)x(x-1) - 2x^4 + 2x^2 は、すぐに展開したりせず、
a*x^2*(x^2-1)(x^2-2) = a*x^4*(x^2-1) - 2x^2*(x^2-1) = x^2*(x^2-1)(a*x^2 - 2)
a*x^2*(x^2-1)(x^2-2) - x^2*(x^2-1)(a*x^2 - 2) = 0
x^2*(x^2-1){a(x^2-2) - (a*x^2 -2)} = 0 として、{~} = 0 から、aを求める。
この問題では、大した差はありませんが、くくれるものは皆くくってから計算する癖を付けておけば、本当に大変な計算をするような問題では、楽になることがあります。
No.3
- 回答日時:
f(x) の次数は、真っ先に調べる所ですよね。
f を n 次式とすると、問題の恒等式の左辺は 2n 次、
右辺は n+3 次か 4 次以下かのどっちかです。
(いきなり n+3 次か 4 次か…では、ありません。
n+3 = 4 の場合に、4次項が相殺するかもしれないから。)
右辺が n+3 次になるのは、
2n = n+3 かつ n+3 ≧ 4 の場合。すなわち、n = 3 の場合。
右辺が 4 次以下になるのは、
2n ≦ 4 かつ n+3 ≦ 4 の場合。すなわち、n = 0 または 1 の場合。
f(0) = f(1) = f(2) = 0 であることが判れば、
上記の条件を満たすのは、
f(x) = ax(x-1)(x-2) (aは定数 a≠0) と
f(x) = 0 (定数関数) だけです。
ここまで絞れた候補を、もとの恒等式へ代入して、
解になっているかどうか確認すれば、a の値が求まって完了します。
No.1
- 回答日時:
おそらく、直感ではf(x)は三次の式だと思うのです
この直感は当たっているはずです。
確かめるためのポイントは、
・左辺が3次式で右辺が4次式であることはあり得ない(恒等式であれば、左辺と右辺の次数は一致する)
・3次式の3次の係数が0であることはあり得ない
・○次式、というのは、多項式の中で次数が最大のものしか関係ない
ということでしょうか。
f(x)の最高次の項をax^nとします(a≠0です。)
左辺の最高次の項=右辺の最高次の項
という式を作ってやれば、nを求めることができます。
ただ、右辺には2x^4なんてヤラシイ項がいるので、そちらが最大次数にならないかの確認は必要だと思われます。
参考になれば幸いです。
ありがとうございます。
やっぱり三次でいいのだとは思うのですよ
いろいろ試したら
与えられた恒等式を(*)とでもすると
(i)f(x)が四次の時、(*)左辺は八次、(*)右辺は七次
(ii)f(x)が五次の時、(*)右辺は十次、(*)左辺は八次
どんどん次数を増やしていくと、(*)右辺と左辺の次数差が等差1の等差数列的に広がっていくんですよ
それに対して次数が3のときは
(*)右辺、左辺の次数はともに6
やっぱり3しか有り得ない
しかも先に因数が3つ以上あると求めていて、f(x)の次数は3以上にもあてはまりますしね
…なのですが
これの証明は帰納法でも使うんでしょうかね?
まぁf(x)は三次として
あとは
f(x)の項に定数が存在するかしないかの2通りで場合分けみたいですね
とにかくありがとうございました
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