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多項式P(x)を(x-1)^2で割ると余りが4x-5,x+2で割ると余りが-4である。このときP(x)を(x-1)^2(x+2)で割ったときの余りを求めよ。

これの解法の際に
P(x)=(x-1)^2(x+2)Q(x)+ax^2+bx+c
P(x)を(x-1)^2で割った余りが4x-5だから
P(x)=(x-1)^2(x+2)Q(x)+ax^2+bx+cにおいて
(x-1)^2(x+2)Q(x)は(x-1)^2で割り切れるから
ax^2+bx+cを(x-1)^2で割った余りも4x-5となる
すなわち
ax^2+bx+c=a(x-1)^2+4x-5とおける

の最後のax^2+bx+c=a(x-1)^2+4x-5の部分がわかりません、
なぜaに(x-1)^2がついているのですか
そうなる途中式と解説をおねがいします

A 回答 (5件)

> P(x)=(x-1)^2(x+2)Q(x)+ax^2+bx+c


> P(x)を(x-1)^2で割った余りが4x-5だから
> ax^2+bx+cを(x-1)^2で割った余りも4x-5となる

↑の部分はok?
(x-1)^2(x+2)Q(x) を (x-1)^2 で割っても余りは出ない
というだけのことだね。

次に、ax^2+bx+c を (x-1)^2 で割るのだけれど、
余りが 4x-5 と判っているから、
ax^2+bx+c = (x-1)^2・(商)+(4x-5) とおける。
左辺が高々二次だから、右辺も高々二次にするため、商は定数式。
両辺の二次項の係数を比べれば、商 = a と判る。
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この手の問題で この質問は多いし、しかも回答者もまともに回答できていない。



>最後のax^2+bx+c=a(x-1)^2+4x-5の部分がわかりません

P(x)=(x-1)^2(x+2)Q(x)+h(x)とすると、h(x)は高々2次式。
しかも、(x-1)^2(x+2)Q(x)は (x-1)^2で割り切れるから、h(x)を(x-1)^2で割った余りは、P(x)を(x-1)^2で割った余りに等しい。
よって、h(x)=a(x-1)^2+4x-5 と置ける。

(注)
この考え方が理解できなければ、(微分を習ってるなら)h(x)=ax^2+bx+c として、f(x)=P(x)-(ax^2+bx+c)=(x-1)^2(x+2)Q(x)と変形する。
そうすると、f(1)=f´(1)=0、P(2)=-4 。これから直ぐ求められる。
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う~ん、これは模範解答?



う~ん・・・。 

P(x)=(x-1)^2 (x+2)Q(x) +『ax^2 +bx+c』

 #今、『』でくくったところが余りね。

これが二次方程式になる! って言うのが書いてないのはちょっと・・。

 #数IIでしょう? 不親切だと思うな。

(x-1)^2 で割ると、 余り4x-5 が分かっている。

 #だからこんな書き方してあるのね。

 #Q(x)より左は、割り切れる! 様に書いてある。

なので、 『』のなか(余り)を、(x-1)^2で割ってしまえ!

ってことね。 そうすると、余りは 4x-5 になるはずだ!

なるように決めるんだ!ってこと。


今度は、 ax^2+bx+c を (x-1)^2 で割ってあげればいい。

割り方は分かるよね?

下に図をつけよう。 (x-1)^2= x^2 -2x+1 で割るんね。

 #これも不親切だよな~。大学の数学やっているんじゃないんだから・・・。


(b+2a)x+(c-a) = 4x-5

なんだね。それと、もうひとつあるね、x+2で割った時の余り。

これで連立方程式は立つ。 からとける^^;


この解説は何をやっているかって言うと、

商が a だね (x-1)^2で割ったとき。 σ(・・*)の図だと、青文字のところ。


ax^2 +bx+c = a(x-1)^2 +4x-5

としてあげれば、(x-1)^2 で割ったとき、 余りは 4x-5 ですよ

といえる。 実際に展開してみると、

(右辺)=ax^2 -2ax +a +4x-5 

   =ax^2 +(4-2a)x +(a-5)

左辺 と比較すると、

b=4-2a 、 c=(a-5)

少し上を見てください? この式はσ(・・*)書いてるから^^;

(=^. .^=) m(_ _)m (=^. .^=)
「数IIの問題」の回答画像3
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最後のax^2+bx+c=a(x-1)^2+4x-5の部分がわかりません、


なぜaに(x-1)^2がついているのですか
>左辺がxの二次式で、x^2の係数がaで、(x-1)^2で割った余りが
4x-5なので、こうなる。では理解できませんか?
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> なぜaに(x-1)^2がついているのですか



そうじゃなかったら,x^2の係数が右辺と左辺で合わないだろう。
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