数IIの問題

多項式P(x)を(x-1)^2で割ると余りが4x-5,x+2で割ると余りが-4である。このときP(x)を(x-1)^2(x+2)で割ったときの余りを求めよ。

これの解法の際に
P(x)=(x-1)^2(x+2)Q(x)+ax^2+bx+c
P(x)を(x-1)^2で割った余りが4x-5だから
P(x)=(x-1)^2(x+2)Q(x)+ax^2+bx+cにおいて
(x-1)^2(x+2)Q(x)は(x-1)^2で割り切れるから
ax^2+bx+cを(x-1)^2で割った余りも4x-5となる
すなわち
ax^2+bx+c=a(x-1)^2+4x-5とおける

の最後のax^2+bx+c=a(x-1)^2+4x-5の部分がわかりません、
なぜaに（x－１）＾２がついているのですか
そうなる途中式と解説をおねがいします

No.5 ベストアンサー 回答者： alice_44 回答日時： 2012/06/01 19:24

＞ P(x)=(x-1)^2(x+2)Q(x)+ax^2+bx+c

＞ P(x)を(x-1)^2で割った余りが4x-5だから
＞ ax^2+bx+cを(x-1)^2で割った余りも4x-5となる

↑の部分はok？
(x-1)^2(x+2)Q(x) を (x-1)^2 で割っても余りは出ない
というだけのことだね。

次に、ax^2+bx+c を (x-1)^2 で割るのだけれど、
余りが 4x-5 と判っているから、
ax^2+bx+c = (x-1)^2・(商)+(4x-5) とおける。
左辺が高々二次だから、右辺も高々二次にするため、商は定数式。
両辺の二次項の係数を比べれば、商 = a と判る。

No.4 回答者： mister_moonlight 回答日時： 2012/06/01 10:09

この手の問題で　この質問は多いし、しかも回答者もまともに回答できていない。

＞最後のax^2+bx+c=a(x-1)^2+4x-5の部分がわかりません

P(x)＝(x-1)^2(x+2)Q(x)+h(x)とすると、h(x)は高々2次式。
しかも、(x-1)^2(x+2)Q(x)は　(x-1)^2で割り切れるから、h(x)を(x-1)^2で割った余りは、P(x)を(x-1)^2で割った余りに等しい。
よって、h(x)＝a(x-1)^2+4x-5　と置ける。

(注)
この考え方が理解できなければ、(微分を習ってるなら)h(x)＝ax^2+bx+c　として、f(x)＝P(x)-(ax^2+bx+c)=(x-1)^2(x+2)Q(x)と変形する。
そうすると、f(1)＝f´(1)＝0、P(2)＝-4　。これから直ぐ求められる。

No.3 回答者： B-juggler 回答日時： 2012/05/31 21:18

う～ん、これは模範解答？

う～ん・・・。　

Ｐ（ｘ）＝（ｘ－１）＾２　（ｘ＋２）Ｑ（ｘ）　＋『ａｘ＾２　＋ｂｘ＋ｃ』

　＃今、『』でくくったところが余りね。

これが二次方程式になる！　って言うのが書いてないのはちょっと・・。

　＃数IIでしょう？　不親切だと思うな。

（ｘ－１）＾２　で割ると、　余り４ｘ－５　が分かっている。

　＃だからこんな書き方してあるのね。

　＃Ｑ（ｘ）より左は、割り切れる！　様に書いてある。

なので、　『』のなか（余り）を、（ｘ－１）＾２で割ってしまえ！

ってことね。　そうすると、余りは　４ｘ－５　になるはずだ！

なるように決めるんだ！ってこと。


今度は、　ａｘ＾２＋ｂｘ＋ｃ　を　（ｘ－１）＾２　で割ってあげればいい。

割り方は分かるよね？

下に図をつけよう。　（ｘ－１）＾２＝　ｘ＾２　－２ｘ＋１　で割るんね。

　＃これも不親切だよな～。大学の数学やっているんじゃないんだから・・・。


（ｂ＋２ａ）ｘ＋（ｃ－ａ）　＝　４ｘ－５

なんだね。それと、もうひとつあるね、ｘ＋２で割った時の余り。

これで連立方程式は立つ。　からとける＾＾；


この解説は何をやっているかって言うと、

商が　ａ　だね　（ｘ－１）＾２で割ったとき。　σ(・・*)の図だと、青文字のところ。


ａｘ＾２　＋ｂｘ＋ｃ　＝　ａ（ｘ－１）＾２　＋４ｘ－５

としてあげれば、（ｘ－１）＾２　で割ったとき、　余りは　４ｘ－５　ですよ

といえる。　実際に展開してみると、

（右辺）＝ａｘ＾２　－２ａｘ　＋ａ　＋４ｘ－５　

　　　＝ａｘ＾２　＋（４－２ａ）ｘ　＋（ａ－５）

左辺　と比較すると、

ｂ＝４－２ａ　、　ｃ＝（ａ－５）

少し上を見てください？　この式はσ(・・*)書いてるから＾＾；

(=^. .^=)　ｍ（＿　＿）ｍ　(=^. .^=)

No.2 回答者： yyssaa 回答日時： 2012/05/31 21:10

最後のax^2+bx+c=a(x-1)^2+4x-5の部分がわかりません、

なぜaに（x－１）＾２がついているのですか
＞左辺がxの二次式で、x^2の係数がaで、(x-1)^2で割った余りが
4x-5なので、こうなる。では理解できませんか？

No.1 回答者： f272 回答日時： 2012/05/31 20:57

> なぜaに（x－１）＾２がついているのですか

そうじゃなかったら，x^2の係数が右辺と左辺で合わないだろう。