複素数平面（正三角形の必要十分条件）

複素数平面上の異なる３点Ａ(α)、Ｂ(β)、Ｃ(γ)について、
△ABCが正三角形　⇔　α^2 + β^2 + γ^2 - αβ - βγ - γα = 0
が成りたつことの示し方を教えてください。

→については
|(γ-α)/(β-α)|=1　かつ　arg( (γ-α)/(β-α) )=±60°　より
(γ-α)/(β-α)=cos(±60°)+ [i]sin(±60°)であるから
ド・モアブルの定理より
(γ-α)^3 / (β-α)^3 = cos(±180°)+[i]sin(±180°)=-1+0[i]=-1
よって、(γ-α)^3 + (β-α)^3 = 0
とするところまで考えました。

この続きとして、
因数分解の公式A^3 + B^3 = (A+B)(A^2-AB+B^2)を利用して
(γ+β-2α)( α^2 + β^2 + γ^2 - αβ - βγ - γα ) = 0
となり、γ+β-2α=0 のときは、α=(β+γ)/2より
A(α)はB(β)とC(γ)を結ぶ線分の中点となってしまうから、
△ABCが正三角形であることに不適。
ゆえに α^2 + β^2 + γ^2 - αβ - βγ - γα = 0
と考えました。

他にも良い考え方はありますか？
また、←はどのように示せますか？

No.2 ベストアンサー 回答者： hiccup 回答日時： 2016/07/27 23:47

１の立方根のうち１でないものをω、ω^2 とすると、３点Ａ(α)、Ｂ(β)、Ｃ(γ)が正三角形をつくるなら

　α-β=-ω(γ-β)　または　α-β=-ω^2 (γ-β)

のどちらかが成り立つ。言い換えると

　α+ω^2 β +ωγ=0　または　α+ωβ+ω^2 γ=0

で、これは

　(α+ω^2 β +ωγ)(α+ωβ+ω^2 γ)=0

と同値。


左辺を展開して、あら、びっくり。

この回答へのお礼

１の立方根を使うと便利ですね。任意の正三角形に対する問題ですが、１の立方根に帰着できることが素敵です。

お礼日時：2017/08/06 18:25

No.1 回答者： Ae610 回答日時： 2016/07/24 06:22

当方ならば・・

(γ-α)/(β-α)=cos(±60°)+ [i]sin(±60°) = 1/2±i√3/2であるから
・・の後右辺の1/2を左辺に移行して両辺の二乗を作る・・!

{(γ-α)/(β-α) - 1/2}^2 = {i√3/2}^2 = -3/4
-3/4を左辺に移行して整理すると
(γ-α)^2/(β-α)^2 - (γ-α)/(β-α) +1 = 0
(β-α)^2を掛けると
(γ-α)^2 - (γ-α)(β-α) + (β-α)^2 = 0
展開して整理すれば
α^2 + β^2 + γ^2 - αβ - βγ - γα = 0
・・が導ける・・!

この回答へのお礼

なるほど、ありがとうございます。

お礼日時：2017/08/06 18:25