複素数の問題の解答の記載でわからないところがあります。

「16乗して１になる複素数は全部で１６個あり、それらはcos(2π×ｋ)/16+i(2π×ｋ)/16 (ｋ＝0，1，・・・・、15)
と表される。このうち16乗して初めて1となる複素数の個数をｎとし、それらをｚ１、ｚ２、　・・・、ｚｎとすると、
n=□
ｚ1+ｚ2+・・・・+ｚｎ＝□
ｚ1ｚ2・・・ｚｎ＝□
(１－ｚ1)(1－ｚ2)・・・(1－ｚｎ)＝□
である。」
という問題について

解答の記載において、
「16乗して初めて1になる8個の複素数ｚ1、ｚ2、・・・、ｚ8はｚ＾8+1＝0の解である。
したがって、
ｚ＾8+1＝(ｚ－ｚ1)(ｚ－ｚ2)・・・(z－ｚ8)・・・・①
が成り立つ。①の右辺を展開したときのｚ＾7の係数と定数項を、左辺のｚ＾7の係数と定数項と比較して
ｚ1+ｚ2+・・・・+ｚ8＝0　
ｚ1ｚ2・・・・ｚ8＝1」
という部分があるのですが、①のように因数分解できる過程とｚ＾7の係数が0になる導き方を教えてください。

No.3 ベストアンサー 回答者： masterkoto 回答日時： 2024/02/11 23:40

例えば

x²-4x+3＝0
の解を、解の公式とか感で求めてみると
x＝1、3
ですよね
また解、x＝1とx＝3を持つ二次方程式は
(x-1)(x-3)＝0
ですから、
x²-4x+3＝0の解がx＝1、3と聞いただけで
x²-4x+3＝(x-1)(x-3)
と変形できることは、既に身につけていると思います…
この、問題でも同じ要領です
やっつの解、Z＝Z₁〜Z₈を持つ方程式は
(Z-Z₁)(Z-Z₂)…(Z-Z₈)＝0…A
また、同じ8つの解を持つ方程式が
Z⁸+1＝0…Bでもあるなら
B左辺はA左辺のように因数分解できるというわけです

次に
(x+1)(x+2)(x+3)のx²の項の計算の仕方です
すべて展開せずに計算するには
左と真ん中の()からは、それぞれxを選び
右の()からは3を選んで掛け算すると
3x²ができる
左からx、真ん中から2、右からxを選んで掛け算すると、2x²ができる
左から1、真ん中と右からはxを選んで掛け算すると、1x²ができる　
トータルで6x²ができる
→その係数は1+2+3＝6と求められる
この問題でも同じ要領で
A式の8つの()のうち7つからZを選んで…
と言うように計算していくと
Z⁷の係数は
Z₁+Z₂+…+Z₈だとわかります
そしてBはAのように因数分解でき
BのZ⁷項がないことから
Z⁷の係数は0に等しく
Z₁+Z₂+…+Z₈＝0
だと言うことになります

この回答へのお礼

丁寧な回答ありがとうございます。とてもよく理解できました。

お礼日時：2024/02/12 22:14

No.4 回答者： tknakamuri 回答日時： 2024/02/12 12:19

kは1と16と互いに素なものだから

k=1、3、5、7、9、11、13、15
全部奇数なので
(z_k)^8=cos(πk)+isin(πk)=-1
で8個だから、z_kはz^8+1=0の解
因数定理より①が成り立つ。
①をバラシて係数比較すると
7次の項は
-z_0-z_1-・・・-z_8=0
7次係数は地道に分配法則で考えるだけ。
次数が7になる掛け合わせは8個しかないのが簡単に分かる筈だけど、わからなければいちど全部書き下してみよう。手を動かせば知りたい部分がどうなるか直ぐにわかるようになりますよ。何事も修練です。

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。

お礼日時：2024/02/12 22:15

No.2 回答者： mtrajcp 回答日時： 2024/02/11 21:53

f(z)=z^8+1

とすると
k=1～8に対して
z_k
は
f(z)=0
の
解だから
f(z_k)=0

因数定理
{
f(z)を(z-z_k)で割った商をg_k(z),余りをr_kとすると
f(z)=g_k(z)(z-z_k)+r_k
↓z=z_kとすると
f(z_k)=r_k
↓f(z_k)=0だから
r_k=0
f(z)=g_k(z)(z-z_k)
}
から
f(z)は(z-z_k)で割り切れるから

f(z)=z^8+1は
(z-z_1)(z-z_2)(z-z_3)(z-z_4)(z-z_5)(z-z_6)(z-z_7)(z-z_8)
で割り切れるから

z^8+1=g(z)(z-z_1)(z-z_2)(z-z_3)(z-z_4)(z-z_5)(z-z_6)(z-z_7)(z-z_8)
となるg(z)がある
f(z)=z^8+1 は8次式
(z-z_1)(z-z_2)(z-z_3)(z-z_4)(z-z_5)(z-z_6)(z-z_7)(z-z_8)
も8次式だから
g(z)=c (定数0次式)
f(z)=z^8+1のz^8の係数は1
(z-z_1)(z-z_2)(z-z_3)(z-z_4)(z-z_5)(z-z_6)(z-z_7)(z-z_8)
のz^8の係数も1だから
g(z)=c=1
∴
z^8+1=(z-z_1)(z-z_2)(z-z_3)(z-z_4)(z-z_5)(z-z_6)(z-z_7)(z-z_8)

左辺の
z^8+1=z^8+0×z^7+1
のz^7の係数は0だから

右辺
(z-z_1)(z-z_2)(z-z_3)(z-z_4)(z-z_5)(z-z_6)(z-z_7)(z-z_8)
のz^7の係数
-(z_1+z_2+z_3+z_4+z_5+z_6+z_7+z_8)
も0にならなければならない

No.1 回答者： Tacosan 回答日時： 2024/02/11 21:20

まず 16=2^4 だから, 「16乗して 1 になる」複素数は「8乗して 1になる」か「8乗しても 1 にならない」かのどちらかでしかなく, 後者であれば自動的に「16乗して初めて1」だ.

そして, z^16-1 = (z^8-1)(z^8+1) に気付こう.

あとは... 「展開してみろ」とか「因数定理」とか.