A 回答 (4件)
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No.4
- 回答日時:
No3 です。
前の回答の(1)の解き方に間違いがあります。ごめんなさい。"これでは犯人xを取り逃がします。分子を家宅捜査すれば、分子3xは自然数でしかも3の倍数です。分母も3の倍数であれば、右辺は約分できます。
自然数になるかもしれません。"と推理したのが誤りです。
y=3x/(x-2)・・・(1)の右辺にはxが2つありますから。一ケ所に追い込みましょう
右辺について 3xをx-2で割ると
y=3x/(x-2)=3+6/(x-2) として捜査すべきでした。x-2=kと置けば(k=1,2,3・・・)
(1)はy=3+6/k と書けます。
yが自然数になるのはkが1,2,3だけですね。
以上のように解くべきでした。 勉強になりますね。
No.3
- 回答日時:
数学はゲームです。
特に高校レベルにおいて自然数問題を解くときには、警察と同じ精神をもって、犯人を見つけることに精力を尽くす、その過程と似ています。
大座波に行って①自然数にあたって、聞き込む。②おとり捜査 ③犯人包囲網 の作戦があります。
検挙するにあたっては、必ず法に基づいて行動してください。
No1さんの解き方が模範です。
ゲームで解くとき方を紹介します。(警察と同じく、犯人探しに、時間がかかります。)
(1) 犯人yを絞りましょう。 与式を移行して整理します。
xy-3x-2y=0
(x-2)y=3x 右辺は正ですから 左辺も正。ということはyは自然数ですからx-2≧1、∴x≧3
そこで両辺をx-2で割ればyを包囲することができます。
y=3x/(x-2)・・・(1)
左辺は自然数であることを意識して、 右辺が自然数になるためには分母のx-2が1であれば両辺とも自然数になります。
分母x-2=1を解いてx=3 で共犯者y=9も見つかります。
これでは犯人xを取り逃がします。分子を家宅捜査すれば、分子3xは自然数でしかも3の倍数です。分母も3の倍数であれば、右辺は約分できます。
自然数になるかもしれません。
x-2=3kと置きましょう(k=1,2,・・)x=3k+2を(1)に代入して
y=3(3k+2)/3k=3+2/k
右辺が自然数になるにはkが1か2しかありません
k=1のとき y=5
k=2のとき y=4
ですから、あとはxを召し捕ってください。任せます。
⑵ x^2+4xy+5y^2=10を満たす自然数x,yの組を全て求めよ。 犯人x,yには年齢差があるかもしれません。
x≧y として犯人を絞り込みましょう。左辺だけ注目します。
10=x^2+4xy+5y^2 年上のxをyと仮定してみます。四則がすべて+だから、法的に問題ないと確認してください。そしてxを全てyで置き換えると右辺との大小関係は
10=x^2+4xy+5y^2≧y^2+4y^2+5y^2=10y^2 となりますでしょうか。
両端の大小関係から
10≧10y^2
∴ 1≧y^2
この縛りの中では,yは1しかありません。
y=1を 与式に代入して (x+5)(x-1)=0 と因数分解すればxが見つかります。
宿題
なぜxをyで置き換えたのか、yをxで置き換えなかったのか。試してください。警察の苦労がわかります。
異なる2人x,yを同一犯と仮定し操作する手法を味わってください。(←ばからしい疑問で恐縮。)
No.1
- 回答日時:
(1)
xy-3x-2y=0より、(x-2)(y-3)=6となる。6=(-1)×(-6)、(-2)×(-3)、(-3)×(-2)、(-6)×(-1)、1×6、2×3、3×2、6×1より
(x,y)=(1,-3)、(0,0)、(-1,1)、(-4,2)、(3,9)、(4,6)、(5,5)、(8,4)
この中で自然数の組は(3,9)、(4,6)、(5,5)、(8,4)
(2)
x^2+4xy+5y^2=(x+y)^2+y^2=10=3^2+1^2となるので、x+y=3、y=1となるので、(x,y)=(2,1)
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