解き方を教えてください

⑴xy-3x-2y=0を満たす自然数x,yの組を全て求めよ。
⑵x^2+4xy+5y^2=10を満たす自然数x,yの組を全て求めよ。
この二つの解き方がわかりません！わかる方解き方お願いします！

No.4 回答者： think2nd 回答日時： 2018/01/29 10:08

No3 です。

前の回答の(1)の解き方に間違いがあります。ごめんなさい。
　"これでは犯人xを取り逃がします。分子を家宅捜査すれば、分子3xは自然数でしかも3の倍数です。分母も3の倍数であれば、右辺は約分できます。
　　　自然数になるかもしれません。"と推理したのが誤りです。
　　y=3x/(x-2)・・・(1)の右辺にはxが2つありますから。一ケ所に追い込みましょう
　　右辺について　3xをx-2で割ると

　　y=3x/(x-2)=3+6/(x-2)　として捜査すべきでした。x-2=kと置けば(k=1,2,3・・・)
　　　(1)はy=3+6/k　と書けます。
　　　yが自然数になるのはkが1,2,3だけですね。
　以上のように解くべきでした。　勉強になりますね。

No.3 回答者： think2nd 回答日時： 2018/01/27 12:22

数学はゲームです。

　特に高校レベルにおいて自然数問題を解くときには、警察と同じ精神をもって、犯人を見つけることに精力を尽くす、その過程と似ています。
　大座波に行って①自然数にあたって、聞き込む。②おとり捜査　③犯人包囲網　の作戦があります。
　検挙するにあたっては、必ず法に基づいて行動してください。
　No1さんの解き方が模範です。
　ゲームで解くとき方を紹介します。(警察と同じく、犯人探しに、時間がかかります。)
　(1)　犯人yを絞りましょう。　与式を移行して整理します。
　　　xy-3x-2y=0
　　　(x-2)y=3x　右辺は正ですから　左辺も正。ということはyは自然数ですからx-2≧1、∴x≧3　
そこで両辺をx-2で割ればyを包囲することができます。
y=3x/(x-2)・・・(1)
　　　左辺は自然数であることを意識して、　右辺が自然数になるためには分母のx-2が1であれば両辺とも自然数になります。
　　　　　　分母x-2=1を解いてx=3　で共犯者y=9も見つかります。

　　　　これでは犯人xを取り逃がします。分子を家宅捜査すれば、分子3xは自然数でしかも3の倍数です。分母も3の倍数であれば、右辺は約分できます。
　　　自然数になるかもしれません。
　　　　x-2=3kと置きましょう(k=1,2,・・)x=3k+2を(1)に代入して
　　　　y=3(3k+2)/3k=3+2/k
　　　　　右辺が自然数になるにはkが1か2しかありません
　　　　　k=1のとき　y=5
　　　　　k=2のとき　y=4
　　ですから、あとはxを召し捕ってください。任せます。
　　　
⑵　x^2+4xy+5y^2=10を満たす自然数x,yの組を全て求めよ。　犯人x,yには年齢差があるかもしれません。
　　　x≧y　として犯人を絞り込みましょう。左辺だけ注目します。
　　10=x^2+4xy+5y^2　年上のxをyと仮定してみます。四則がすべて+だから、法的に問題ないと確認してください。そしてxを全てyで置き換えると右辺との大小関係は
　　　10=x^2+4xy+5y^2≧y^2+4y^2+5y^2=10y^2　となりますでしょうか。
　　　両端の大小関係から
　　　10≧10y^2
　　∴　1≧y^2
　　　この縛りの中では,yは1しかありません。
　　　　y=1を　　　与式に代入して　(x+5)(x-1)=0　と因数分解すればxが見つかります。
　　
宿題　　
　　なぜxをyで置き換えたのか、yをxで置き換えなかったのか。試してください。警察の苦労がわかります。
　　異なる2人x,yを同一犯と仮定し操作する手法を味わってください。(←ばからしい疑問で恐縮。)

No.2 回答者： mathstudent 回答日時： 2018/01/27 09:50

(2)訂正

(x+2y)^2+y^2=10より、x+2y=3、y=1となるので、(x,y)=(1,1)となる。

No.1 回答者： mathstudent 回答日時： 2018/01/27 09:47

(1)

xy-3x-2y=0より、(x-2)(y-3)=6となる。6=(-1)×(-6)、(-2)×(-3)、(-3)×(-2)、(-6)×(-1)、1×6、2×3、3×2、6×1より

(x,y)=(1,-3)、(0,0)、(-1,1)、(-4,2)、(3,9)、(4,6)、(5,5)、(8,4)

この中で自然数の組は(3,9)、(4,6)、(5,5)、(8,4)

(2)

x^2+4xy+5y^2=(x+y)^2+y^2=10=3^2+1^2となるので、x+y=3、y=1となるので、(x,y)=(2,1)