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原点Oから出発して、座標平面上をx軸の正の方向、またはy軸の正の方向に1だけ進む事を次々に行なって得られる経路を道という。原点Oと点(i、j)を結ぶ領域((x、y)|x≧y)内の道の総数をN(i,j)とする。
(1)N(2,2)、N(3,1)、N(3,2)を求めよ。
(2)n≧1のとき、N(n、1)を求めよ。
(3)n≧3のとき、N(n、2)をN(n、1)とN(n-1、2)で表し、N(n、2)を求めよ。
(1)は図を書いて数えました。
答えは2,3,5だと思います。
(2)、(3)はちょっと解きかたがわかりません。
よろしくお願い致します。
No.13ベストアンサー
- 回答日時:
n≧3のとき、a[n]=a[n-1]+n
n=2のとき、a[2]=2
という漸化式を解けばよいことになります。
※N(n,2)をa[n]と表記しなおしただけです。
a[n]-a[n-1]=(nの式)となっていることに注目してください。これが「数列a[n]の階差数列が式で与えられている」ことを示しています。
その解き方は、階差数列でおなじみの方法ですが、「階差のスタートの項に、階差を足しこんでいく」ことで導出できます。
いまは、階差のスタートがa[2]ですから、
a[n]=a[2]+(a[3]-a[2])+(a[4]-a[3])+…+(a[n]-a[n-1])
=a[2]+Σ(k=3~n)(a[k]-a[k-1])
=a[2]+Σ(k=3~n)k
となります。
No.12
- 回答日時:
#10の補足を見ました。
>7.のところがよくわからないので、もうちょっと詳しく教えて頂けたらうれしいです。
階差数列型!という言葉の意味がわからないのか、
階差数列という言葉は知っているが、6.の式が、階差数列の考え方で解けることがわからないか
どちらでしょうか?
わかりにくい補足をしてすみません!
>階差数列という言葉は知っているが、6.の式が、階差数列の考え方で解けることがわからないか
のほうです。数列は習ったので、階差数列は一応わかってるつもりです。
よろしくお願いしますm(__)m
No.11
- 回答日時:
>(3)なので、ちょっとお聞きしたいのですが、
>>N(N,2)=(2+3+....N)
>> =N(N+1)/2 - 1
>>
> よってN(n,2)=n(n+1)/2 + 1
>となります。
>のNというのは、何のことなのでしょうか?
---------に対しての回答----------------
大文字と小文字の混在でちょっとわかりにくいですね。
正しくは
N(n,2)=(2+3+....n)
=n(n+1)/2 - 1
よってN(n,2)=n(n+1)/2 + 1
となります。
補足してくださってどうもありがとうございます。
n(n+1)/2 - 1 から
n(n+1)/2 + 1
となるのがよくわからないのですが、ここのところを教えていただけるでしょうか?
No.10
- 回答日時:
結局、こんな感じの考え方になります。
1. n≧1に対して、N(n,0)=1
2. N(1,1)=1
3. n≧2に対して、N(n,1)=N(n,0)+N(n-1,1)=1+N(n-1,1)
4. 2.3.よりN(n,1)=n
5. N(2,2)=N(2,1)=2
6. n≧3に対して、N(n,2)=N(n,1)+N(n-1,2)=n+N(n-1,2)
7. 6.の漸化式は階差数列型!
n≧3に対してN(n,2)=N(2,2)+Σ(k=3~n)k
途中計算略で、N(n,2)=(2+n)(n-1)/2
この回答への補足
すみません。お礼の補足です。
N(n,2)=N(2,2)+Σ(k=3~n)k
がよくわからないので、この式がでてくるところまでを教えて頂けたらうれしいです。
No.9
- 回答日時:
stripeさん、#1#3です。
補足いただいたんですが>出だしの(1)なのですが、
x≧yという条件があるので、
右右上上
右上右上
の二通りなのではないでしょうか?
そうでした。領域{(x,y)|x≧y}
の中を通る道筋だけ、ということですよね?
それなら、stripeさんのご回答の通りですね!間違えてすみません。
N(2,2)は、
x≧yとなるには
点(0,1)(0,2)(1,2)は通れませんから、それらを通らない経路で考えないといけなかったですね。
(0,0)(1,0)(1,1)(2,1)(2,2)
(0,0)(1,0)(2,0)(2,1)(2,2)
の2通りしかないですね!
N(3,1)
x≧yを通るには、
点(0,1)は通れません。
#1で考えた4とおりのうち、(0,1)を通るのは1通りなので
4C1-1=3
となって3とおり。
N(3,2)
(0,1)(0,2)(1,2)は通れません。
(0,1)を通るものは、4とおり。
(1,2)を通るものは、1とおり。
(0,2)を通るものは、(0,1)を通るものに含まれています。
#1の10通りから上の5通り引いて
10-5=5通り。
となって全部stripeさんの解答どおりです。
>(2)n≧1のとき、N(n、1)を求めよ。
#1で回答した
N(n,1)には、点(0,1)を通る1とおりが余分に含まれてしまっているので
(n+1)C1-1=n
となって、N(n,1)=n
が正解です。
>(3)n≧3のとき、N(n、2)をN(n、1)とN(n-1、2)で表し、N(n、2)を求めよ。
これは難しそうですね。
N(n,2)=N(n,1)+N(n-1,2)
という考え方は、#3のとおりでいいと思います。
N(n,2)=N(n,1)+N(n-1,2)ですが、N(n,1)=nを代入すると
N(n,2)=n +N(n-1,2) ←これを漸化式と考える。
nを1つずつ減らしていきましょう。
N(n-1,2)=(n-1)+N(n-2,2)
N(n-2,2)=(n-2)+N(n-3,2)
・・・・・
N(3,2)=3+N(2,2)
N(2,2)=2+N(1,2)
--------------------------------へんぺん足す
N(n,2)={2+3+4+・・+(n-1)+n}+N(1,2)
2+3+4+・・+n=Σk[k=2 to n]=n(n+1)/2-1
=(n^2+n-2)/2
ゆえに
N(n,2)=(n^2+n-2)/2+0=(n^2+n-2)/2
でした。(3)については#7の方がいい説明されていると思います。
(1)のN(2,2)=2だと思います。
ご参考になればうれしいです。訂正させていただきます。
ご回答ありがとうございます。
(2)ばんまではよくわかりました~(^^)
>N(n,2)={2+3+4+・・+(n-1)+n}+N(1,2)
この式の前まではわかったのですが、
N(n,2)とN(1,2)はどうやってでてきたのでしょうか?
{2+3+4+・・+(n-1)+n}という項はだいじょぶです。
よかったら教えて下さいm(__)m
No.7
- 回答日時:
(1) N(2,2)はN(2,1)とN(1,2)の和で6ではないでしょうか。
と思ったら x≧yの条件があるので5でした。(2)
N(n,0)は1通り 全て1となります。
よってN(n,1)はN(n,0)とN(n-1,1)の和となります。
N(1,1)はN(1,0)+N(0,1)ですがx≧yなのでN(0,1)は
通過できません。つまりN(0,1)=0
よってN(1,1)=N(1,0)=1 となります。
N(2,1)=N(2,0)+N(1,1) = 1 +1 =2
N(3,1)=N(3,0)+N(2,1) = 1 +2 =3
となりますから N(n,1)=n となります。
(3) N(n,2)について
N(n,2) = N(n,1)+(n-1,2)の和です。
N(n,1)=n は(1)で求めたとおりです。
N(0,2),N(1,2)はx≧yなので0です。
N(2,2)=N(2,1)+N(1,2)で2+0=2となります。
----------
N(3,2)=N(3,1)=N(2,2)なので3+2=5
N(4,2)=N(4,1)=N(3,2)なので4+5=9
N(5,2)=N(5,1)=N(4,2)なので5+9=14
.......
よってN(n,2)=n(n+1)/2 + 1
となります。
※この求め方
N(2,2) = 2
N(3,2) = N(2,2) +3
N(4,2) = N(3,2) +4
N(5,2) = N(4,2) +5
...
...
...
N(N,2)=N(N-1,2) + N
両辺の和を求めると
左辺
N(2,2)+N(3,2)+.... +N(N,2)
右辺
= N(2,2)+N(3,2)+....+N(N-1) + (2+3+4+5+.....N)
右辺の前半を左辺に移項すると
N(N,2)=(2+3+....N)
=N(N+1)/2 - 1
となります。
ご回答ありがとうございます。
>N(2,1)=N(2,0)+N(1,1) = 1 +1 =2
N(3,1)=N(3,0)+N(2,1) = 1 +2 =3
となりますから N(n,1)=n となります。
最初からnで考えないで、小さい数でやってみるとわかりやすいですね。
よくわかりました。
(3)なので、ちょっとお聞きしたいのですが、
>N(N,2)=(2+3+....N)
=N(N+1)/2 - 1
>よってN(n,2)=n(n+1)/2 + 1
となります。
のNというのは、何のことなのでしょうか?
n(n+1)/2 + 1
の+1は-1のことでしょうか?
とんちんかんなこと聴いてたらすみません(^^;
まだ理解不足なので・・・。
No.6
- 回答日時:
またまた補足
数列を習得済みであれば、(3)は、
N(n、2)=N(n、1)+N(n-1、2)
=(n+1)+N(n-1、2)
つまり
N(n、2)-N(n-1、2)=n+1
数列で置き換えて
X(n)-X(n-1)=n+1
X(2)=6またはX(3)=10
ここでシグマを用いてから、計算すれば、
X(n)=(i=1からn+1)シグマ(i)
になりますね。
これ以上はお勉強ください。^^;;)
この回答への補足
皆さまどうもありがとうございます。
出だしの(1)なのですが、
x≧yという条件があるので、
右右上上
右上右上
の二通りなのではないでしょうか?
No.5
- 回答日時:
間違えてましたので、補足。
n>=3ですから、
N(n、2)=シグマ(i)(i=1からn+1)
シグマ記号使えないんで(行もずれるし)、
適当に解釈してくださいね。
つまり、n=3のときは
N(3、2)=1+2+3+4=10
ここまでくると、実はn=2でも、
N(2、2)=1+2+3=6
n=1でも、
N(1、2)=1+2=3
となって、n>=3じゃなくてもよくなるんですね。
No.4
- 回答日時:
まず、(1)が間違ってます。
^^;;)答は、6,4,10ですね。
続けて同じ方向に進んでもいいはずです。
そうでないと問題の意図が違ってくるから。
(2)は、単純にN(n、1)=n+1
これは、図に書いてもわかりますね?
(3)は、図に書いて考えてくださいね。
そうしたら、すぐにN(n、2)に行く方法が
N(n、1)からは1本だけ、
N(n-1、2)からも1本だけとわかります。
つまり、こうなります。
N(n、2)=N(n、1)+N(n-1、2)
(1)に戻ってください。計算して、
10=4+6 でしょ?
そうしたら、
N(n、2)=N(n、1)+N(n-1、2)を
どんどん使って、N(2、2)まで帰納すれば
いいことがわかりますね。
N(n、2)=N(n、1)+N(n-1、2)
=N(n、1)+N(n-1、2)
=N(n、1)+N(n-1、1)+N(n-2、2)
・・・
=N(n、1)+・・・+N(2、2)
=(n+1)+n+(n-1)+・・・+6
(最後が+6なのは、nがだいぶ大きいときですね)
n>=3ですから、
N(n、2)=シグマ(i+2)(i=1からn)
になりますので、ご自分で帰納的にやってみてください。
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