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原点Oから出発して、座標平面上をx軸の正の方向、またはy軸の正の方向に1だけ進む事を次々に行なって得られる経路を道という。原点Oと点(i、j)を結ぶ領域((x、y)|x≧y)内の道の総数をN(i,j)とする。
(1)N(2,2)、N(3,1)、N(3,2)を求めよ。
(2)n≧1のとき、N(n、1)を求めよ。
(3)n≧3のとき、N(n、2)をN(n、1)とN(n-1、2)で表し、N(n、2)を求めよ。
(1)は図を書いて数えました。
答えは2,3,5だと思います。
(2)、(3)はちょっと解きかたがわかりません。
よろしくお願い致します。
No.3
- 回答日時:
#1続きです。
>(3)n≧3のとき、N(n、2)をN(n、1)とN(n-1、2)で表し、N(n、2)を求めよ。
これは、図を描いて考えてみましょう。
N(n,2)というのは、横にn回、縦に2回進むということですが、
よく見てみましょう。
点(n,2)というのは、点(n,1)から縦にさらに1つ進んだものであって、
点(n-1,2)からは、横にさらに1つだけ進んだ点である、ということが分かります。
また、点(n,2)に至るには、点(n,1)もしくは(n-1,2)のどちらかを必ず経由しなければなりませんね。
原点から点(n,1)に至ってから、さらに(n,2)に至る方法は1とおりです(縦に1つ進むだけ)
原点から点(n-1,2)に至ってから、さらに(n,2)に至る方法も1とおりです(横に1進むだけ)
ということは、
N(n,2)=N(n,1)+N(n-1,2)
である、といえます。ここまでいいでしょうか。
N(n,1)=n+1
である、と(2)で求めました。
N(n-1,2)={(n-1)+1}C2=(n+1)!/2!(n-1)!
=(n+1)n/2
ゆえに
N(n,2)=N(n,1)+N(n-1,2)=(n+1)+(n+1)n/2
=(n+1){1+n/2}
=(n+1)(n+2)/2
さて、実際
N(n,2)=(n+2)C2=(n+2)!/2!n!=(n+2)(n+1)/2
ですから、考え方は合っていますね。
ご参考になればうれしいです。落ち着いて考えてみてくださいね。
x≧yという条件がなかったら、そんな解き方になるんですね。
今よく見ると、ごっちゃになりそうなので、後でよくみさせていただきますm(__)m
No.2
- 回答日時:
(1)について、
コンビネーションnCmは
nCm=n!/(m!(n-m)!)
で計算されます。
N(2,2)の場合、距離4だけ進まないといけないわけですが、
右右上上
右上右上
右上上右
....
などの行き方があるわけですよね。
つまり、4つの箱に「右」「上」を2つづつ入れる
問題と同じです。
これは4C2で計算できますね。
N(3,1),N(3,2)についても同様です。
わからなければ、また補足をお願いします。
No.1
- 回答日時:
stripeさん、こんにちは。
>原点Oから出発して、座標平面上をx軸の正の方向、またはy軸の正の方向に1だけ進む事を次々に行なって得られる経路を道という。原点Oと点(i、j)を結ぶ領域((x、y)|x≧y)内の道の総数をN(i,j)とする。
(1)N(2,2)、N(3,1)、N(3,2)を求めよ。
N(i,j)というのは、原点Oから、点(i,j)に至る道順の数ですね(経路の数)
点(i,j)というのは、原点から、x軸方向にi,y軸方向にjだけ進んだ点のことです。
そこに至るまでの道順の総数は、
(i+j)Ci コンビネーション(i+j)のi
になります。
何故かというと、原点Oから点(i,j)に行くまでには
横にi回、縦にj回進まないといけません。
合計(i+j)回進めばいいのですが、そのうち何回横に進めばいいのか?と考えたらいいです。
さて、具体的には
N(2,2)とは、原点(0,0)から点(2,2)に至る経路ですが
横に2、縦に2だけ進まないと(2,2)にはいけませんね。
そのうち、どこで横に進むかで
(2+2)C2=4*3/2=6
の6とおりがあります。
実際図を描いてみましょう。
(0,0)→(0,1)→(0,2)→(1,2)→(2,2)
(0,0)→(0,1)→(1,1)→(1,2)→(2,1)
(0,0)→(0,1)→(1,1)→(2,1)→(2,2)
(0,0)→(1,0)→(1,1)→(1,2)→(2,2)
(0,0)→(1,0)→(1,1)→(2,1)→(2,2)
(0,0)→(1,0)→(2,0)→(2,1)→(2,2)
の6とおりの行き方があることが分かると思います。
N(3,1)も同様に
横に3回、縦に1回進むので、全部で4個進むうちに
どこで上に行くかで
(3+1)C1=4C1=4
となって4とおりです。
N(3,2)も同様に
(3+2)C2=5*4/2*1=10
となって10とおりです。ここまでいいでしょうか。
>(2)n≧1のとき、N(n、1)を求めよ。
これも、全く同様に考えたらいいですね。
N(n,1)というのは、横にn回、縦に1回だけ進むということなので
N(n,1)=(n+1)C1=(n+1)!/1!n!=n+1
ちょっと長くなりそうなので、一旦ここで送りますね。
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