中心極限定理の演習

一枚のコインをｎ回投げるとき、表の出る回数をXとする。
確立P(0.45≦X/n≦0.55)が0.9以上となるためには、
コインを何回投げれば良いか。

という問題について
中心極限定理によりこの二項分布は
　N~(np,np(1-p))
に近似でき、半数補正において
　(X-np-0.5)/√(np(1-p))
と標準化できる
ここまではわかるのですが、この後に
どう展開すればよいのかわかりません。
ｎが変数であるので標準正規分布表を用いようにも
値を求めることができません。

回答またはここまでの私の考え方に間違いがあるとお思いになる
方がいらっしゃったら是非ご指摘の方をよろしくお願いします。

No.1 回答者： kts2371148 回答日時： 2007/07/16 19:48

>> 半数補正において

>> 　(X-np-0.5)/√(np(1-p))
>> と標準化できる
このへんがあやしいです。

X が二項分布 B(n,p) に従い、
Y が標準正規分布 N(0,1) に従うものとすると、

P(0.45≦X/n≦0.55)
= P(0.45n≦X≦0.55n)
= P( (0.45n-np-0.5)/√(np(1-p)) ≦ Y ≦ (0.55n-np+0.5)/√(np(1-p)) )

となります。
Y の不等式の左辺では -0.5 、
右辺では +0.5 にしなければなりません。

>> ｎが変数であるので標準正規分布表を用いようにも
>> 値を求めることができません。

今回の場合は p=1/2 ですから、
Y の不等式の左辺＋右辺は０になります。
標準正規分布が左右対称であることを利用すると、

P( (0.45n-np-0.5)/√(np(1-p)) ≦ Y ≦ (0.55n-np+0.5)/√(np(1-p)) )
= 2 P( Y ≦ (0.55n-np+0.5)/√(np(1-p)) )

となります。P(0.45≦X/n≦0.55) が 0.9 以上であるということは、
P( Y ≦ (0.55n-np+0.5)/√(np(1-p)) ) は 0.45 以上です。
標準正規分布表を用いれば、
(0.55n-np+0.5)/√(np(1-p)) がいくら以上になるかを求めることができるはずです。
そうすれば、n を求めることもできます。