大学理数科目の式変形、ゼロ除算について

大学で出された課題で、波動方程式に関する証明(説明)問題があったのですが、その課題の解答では、ある変数で割らなければ説明のゴールに到達しないのですが、その変数がゼロでないことが保証できません。ただし、その割る変数がゼロであろうとも証明はできそうなのです。
何を言っているのか伝わりづらいと思います(自分としても説明が難しいです)ので、例を挙げると、単振動に関する微分方程式で、d^x/dt^2+ωx=0といった数式があると思います。ここでx=e^λtなどと置いて両辺xで割りλについて解く、といったような操作があると思います。この場合は式の形が単純なのでe^λtについての恒等式と考えて、あたかもxで割ったかのような(実際は割り算をしていない)というような操作をしていると考えればこういった式変形は納得できます。しかし、次のサイト'https://www.chem-station.com/chemglossary/physch …内の波動方程式に関する式変形で、X(x)T(t)で割る、というところではX(x)T(t)≠0の確認をしていません。もちろん常にX(x)T(t)≠0ではありません。
仮に割り算をしたところでこれらの式ではX(x)T(t)などは綺麗に約分されてこれらの変数が0でも成り立つらしく、どうやら問題ない操作であるらしいのですが、それでもこのようなゼロで割るような操作は高校時代の物理、化学ではなかったですし、数学においてはゼロ除算については口酸っぱく注意されました。
こういった操作が問題ない理由は何でしょうか？ぜひ教えていただけると幸いです。

質問者からの補足コメント

• 微分方程式においては、ある変数xについてx=0がその微分方程式を満たしている場合はxで割っても良いということでしょうか。

  No.2の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2024/07/01 10:39

No.3 回答者： endlessriver 回答日時： 2024/06/30 17:22

#2です。

勘違いしました。

No.2 回答者： endlessriver 回答日時： 2024/06/30 07:14

X(x)T(t)=0の時は、もとの微分方程式を満たしています。

　

したがって、X(x)T(t)≠0　として求めた解にX(x)T(t)=0 を追加しても
何の問題もありません。

No.1 回答者： Tacosan 回答日時： 2024/06/30 02:19

残念ながらここは数学ではないので, 「数学においてはゼロ除算については口酸っぱく注意されました。

」としても
ふ～ん, それで?
で終わりなのだ.

ところで「X(x)T(t)≠0の確認をしていません」とはどういうことなのだろうか. 「もちろん常にX(x)T(t)≠0ではありません。」ってどういう意味?