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二次元非圧縮性流れでx,y方向の速度成分が

u=2xy
v=x^2-y^2+1

であるとき、速度ポテンシャルφ、流れ関数ψの
求めからが分かりません。

ぜひ、教えてください。

A 回答 (3件)

W(z)=φ+iψ とおくと、



dW/dz = u-iv
   = 2xy-i(x^2-y^2+1)
   = -i(z^2+1)

より、両辺をzで積分して

W(z) = ∫(-i(z^2+1))dz
   = -i(z^3/3 + z) + const.
   = -i((x+iy)^3/3 + (x+iy) + C0+iC1
   = x^2y-y^3/3+y+C0 + i(xy^2-x^3/3-x+C1)

よって

φ = x^2y-y^3/3+y+C0
ψ = xy^2-x^3/3-x+C1

となります。
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この回答へのお礼

わかりやすい回答ありがとうございます。

お礼日時:2004/06/27 17:26

tomtakさんが既にご回答されていますので、以下、補足の蛇足。


>二次元非圧縮性流れでx,y方向の速度成分が
u=2xy
v=x^2-y^2+1
であるとき

速度ポテンシャルφは次式で定義される(←流体力学のテキスト参照)。
 u=2xy=∂φ/∂x  (1)
 v=x^2-y^2+1=∂φ/∂y (2)
一方、流れ関数ψは次式で定義される。
 u=2xy=∂ψ/∂y  (3)
 v=x^2-y^2+1=-∂ψ/∂x  (4)

●速度ポテンシャルφは(1),(2)より
 φ=x^2y+C(x),C(x)はxだけの関数  (5)
 φ=x^2y-(1/3)y^3+y+C(y),C(y)はy〃 (6)
(5)(6)は恒等的に等しいことから
 C(x)=0,C(y)=(1/3)y^3-y を得る。これを(5)に代入して φ=x^2y。

●流れ関数ψもまったく同様にして
(3)より ψ=xy^2+C(y),C(y)はyだけの関数 (7)
(4)より ψ=-(1/3)x^3+xy^2-x+C(x),C(x)はx 〃 (8)
(7)と(8)は恒等的に同じだから
 xy^2+C(y)=-(1/3)x^3+xy^2-x+C(x) (9)
これから(x,yの項それぞれを比較する)
 C(x)=(1/3)x^3+x,C(y)=0 (10)
が得られる。(10)を(7)に代入すると流れ関数は ψ=xy^2。
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この回答へのお礼

授業では習わなかった回答法で、参考になりました。
ありがとうございます。

お礼日時:2004/06/27 17:29

このような流体力学の場合、偏微分でいっぱいの式をここにテキストベースで書くのは無理なので、ヒントだけ書きます。


ナビエ・ストークスの式と、連続の式の定義にu,vを叩き込んでみてください。

この回答への補足

早速の回答ありがとうございます。
複素ポテンシャル dw/dz=u-ivから求めることはできませんか?

補足日時:2004/06/27 01:18
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Q流線と流れ関数の関係

以下のサイトの「流線と流れ関数の関係」のところなのですが
http://www12.plala.or.jp/ksp/vectoranalysis/StreamFunction/

「同一の流線上では流量が零なので、ψ=constantが言えます。」とあるのですが、同一の流線上で流量が0となるのは何故ですか?

あと、流れ関数や速度ポテンシャルについて具体的な事例や図などを用いて解説しているサイト・本などがありましたら教えてください。

Aベストアンサー

流線(streamline)というのは、その線上の各点における接線が流速を示すベクトルの向き(方向?)と一致する線です。したがって、流線を横切る流量は0ですね。
流れ関数(stream function)というのは、2次元非圧縮流のなかに2点、たとばP1とP2をとったとき、その2点を結ぶ任意の曲線Cを単位時間に横切る流量に関係しています。
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即ち、流れ関数のP1とP2における値の差が、P1とP2を結ぶ任意の曲線を単位時間に横切る流量を示します。具体的なイメージとしては、2次元非圧縮流の中に、赤と青の旗を立てたとすると、その間を単位時間に流れていく流量を流れ関数Ψの差が表しているということになります。したがって、赤青2本の旗が、同一流線上にあれば、そもそも流線上では、流速は法線成分を持ち得ないのですから、流線を横切って流れる流量は0です。したがって、流れ関数のP1における値とP2に置ける値の差は0、即ち、Ψ=const.です。

Q流体力学に関して質問です。複素(速度)ポテンシャルに関するものです。

流体力学に関して質問です。複素(速度)ポテンシャルに関するものです。

1.複素平面状において速度UのX軸方向の一様流と原点に強さqの吹き出しがあるときの複素ポテンシャルを記述せよ
2.また、1の複素ポテンシャルで示される流れ場においてよどみ点の位置を求めよ
3.よどみ点を通る流線方程式を求めよ

という問題です。
教科書には複素ポテンシャルというものはW(z)として与えられているのですが、覚えなければならないものなのでしょうか??
勉強始めたばかりなので、参考にさせていただきたいと考えています。

上記の問題を解ける方がおられればよろしくお願いいたします。

Aベストアンサー

地球物理を習ってる大学生です。
曖昧な記憶ですがお答えします。


(1)
この流れの複素速度ポテンシャルは,重ね合わせの原理により
f(z) = Uz + (Q/2π)log z
で与えられます。(右辺第1項が一様流、第2項が湧きだし)

(2)
z を極座標で表して(z = re^iθ),速度ポテンシャルと流れ関数を求めると
f(z) = Ure^iθ + (Q/2π)log re^iθ = {U r cosθ + (Q/2π)log r}+ i{Ur sinθ + (Q/2π)θ}
となるので,速度ポテンシャルΦ と流れ関数Ψ は
Φ = Ur cosθ + (Q/2π)log r 、 Ψ = Ur sin θ + (Q/2π)θ
と求まります。

x 軸に沿った流速をu_x とすると,速度ポテンシャルよりθ = 0; r = x とおいて
u_x = ∂Φ/∂x = U + (Q/2π)*1/x
となります。u_x がゼロになる位置がよどみ点なので、x = -(Q/2π)/U
この点は湧き出しによる速度と一様流速とがちょうど打ち消しあいます。


(3)の流線方程式ってなんでしたっけ?
ごめんなさい。

あと、ポテンシャルを覚えておいた方がいいかは分からないです。
ただ、これくらいなら覚えておいてもいいかもしれませんね。

あと、独学ということですので
参考になるURLを載せておきます。

http://kenzou.michikusa.jp/FL-Dyn/FluidDyn.html

参考URL:http://kenzou.michikusa.jp/FL-Dyn/FluidDyn.html

地球物理を習ってる大学生です。
曖昧な記憶ですがお答えします。


(1)
この流れの複素速度ポテンシャルは,重ね合わせの原理により
f(z) = Uz + (Q/2π)log z
で与えられます。(右辺第1項が一様流、第2項が湧きだし)

(2)
z を極座標で表して(z = re^iθ),速度ポテンシャルと流れ関数を求めると
f(z) = Ure^iθ + (Q/2π)log re^iθ = {U r cosθ + (Q/2π)log r}+ i{Ur sinθ + (Q/2π)θ}
となるので,速度ポテンシャルΦ と流れ関数Ψ は
Φ = Ur cosθ + (Q/2π)log r 、 Ψ = Ur sin θ + (Q/2π)θ
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x ...続きを読む

Q流体力学、2次元流れ、速度ポテンシャル、流線の問題

速度ポテンシャル

φ=A・x/r^2 ; r^2=x^2+y^2 (A:定数)

 をもつ2次元流れがあるときの流線を示せ。という問題なんですが、

  u=-A(x^2-y^2)/r^4 , v=-A・2xy/r^4  までは出せました。

ここからあとの解き方が、調べてもわかりません。

ちなみに解は x^2+(y-a)^2=a^2 になるみたいです。

dx/u=dy/v をどう使うのでしょうか?

お願いします。

Aベストアンサー

こんにちは。lycaonです。
まず回答を。

Φ= A・x/r^2、 r^2 = x^2 + y^2 ...(1)
u = -∂Φ/∂x ...(2)
= -A/r^2 - Ax(∂r/∂x)・∂/∂r(1/r^2)
 = -A/r^2 + 2A・x^2/r^4 = A・(x^2-y^2)/r^4
v = -∂Φ/∂y ...(3)
= -Ax・(∂r/∂y)・∂/∂r(1/r^2) = 2A・xy/r^4

dx/u = dy/v ...(4)

u,vを代入し整理、2xy・dx=(x^2-y^2)・dy
y = px と置くと dy = pdx + xdp
2xy・dx=2p・x^2・dx
(x^2-y^2)・dy=(1-p^2)x^2・(pdx + xdp)
代入整理 {(1-p^2)/p/(1+p^2)}・dp = dx/x ...(5) ←変数分離形

(1-p^2)/p/(1+p^2)= D/p + (Ep+F)/(1+p^2) と置き右辺を通分
分子=D(1+p^2) + p(Ep+F) = (D+E)p^2 + Fp + D
D+E=-1、F=0、D=1→E=-2
結局(5)→ {1/p - 2p/(1+p^2)}・dp = dx/x ...(5')

∫(1/p)dp=ln(p) + C1, 
-∫2p/(1+p^2)dp =-ln(1+p^2)+C2 ←∫f'(x)/f(x)dx=ln(f(x))の形。
∫(1/x)dx=ln(x) + C3

(5')に代入し整理 ln{p/(1+p^2)}dp=ln(Cx)、C1~C3をCにまとめた。
p/(1+p^2)=Cx → y=px で戻し (x^2+y^2) = y/C、
1/(2C)=a と置き、x^2 + (y-a)^2 = a^2...(6)

回答終わり。

こんにちは。lycaonです。
まず回答を。

Φ= A・x/r^2、 r^2 = x^2 + y^2 ...(1)
u = -∂Φ/∂x ...(2)
= -A/r^2 - Ax(∂r/∂x)・∂/∂r(1/r^2)
 = -A/r^2 + 2A・x^2/r^4 = A・(x^2-y^2)/r^4
v = -∂Φ/∂y ...(3)
= -Ax・(∂r/∂y)・∂/∂r(1/r^2) = 2A・xy/r^4

dx/u = dy/v ...(4)

u,vを代入し整理、2xy・dx=(x^2-y^2)・dy
y = px と置くと dy = pdx + xdp
2xy・dx=2p・x^2・dx
(x^2-y^2)・dy=(1-p^2)x^2・(pdx + xdp)
代入整理 {(1-p^2)/p/(1+p^2)}・dp = dx/x ...(5) ←変数分離形...続きを読む

Q偏微分の記号∂の読み方について教えてください。

偏微分の記号∂(partial derivative symbol)にはいろいろな読み方があるようです。
(英語)
curly d, rounded d, curved d, partial, der
正統には∂u/∂x で「partial derivative of u with respect to x」なのかもしれません。
(日本語)
ラウンドディー、ラウンドデルタ、ラウンド、デル、パーシャル、ルンド
MS-IMEはデルで変換します。JIS文字コードでの名前は「デル、ラウンドディー」です。

そこで、次のようなことを教えてください。
(1)分野ごと(数学、物理学、経済学、工学など)の読み方の違い
(2)上記のうち、こんな読み方をするとバカにされる、あるいはキザと思われる読み方
(3)初心者に教えるときのお勧めの読み方
(4)他の読み方、あるいはニックネーム

Aベストアンサー

こんちには。電気・電子工学系です。

(1)
工学系の私は,式の中では「デル」,単独では「ラウンドデルタ」と呼んでいます。あとは地道に「偏微分記号」ですか(^^;
その他「ラウンドディー」「パーシャル」までは聞いたことがあります。この辺りは物理・数学系っぽいですね。
申し訳ありませんが,あとは寡聞にして知りません。

(3)
初心者へのお勧めとは,なかなかに難問ですが,ひと通り教えておいて,式の中では「デル」を読むのが無難かと思います。

(4)
私はちょっと知りません。ごめんなさい。ニックネームは,あったら私も教えて欲しいです。

(2)
専門家に向かって「デル」はちょっと危険な香りがします。
キザになってしまうかどうかは,質問者さんのパーソナリティにかかっているでしょう(^^

*すいません。質問の順番入れ替えました。オチなんで。

では(∂∂)/

Qポテンシャル流れ

頭の悪い質問かもしれませんが・・
流体力学で、非粘性かつ非圧縮性の「理想流体(完全流体)の渦無し流れ」のことを、「ポテンシャル流れ」と呼ぶのはなぜですか?

Aベストアンサー

渦無し流れ
rotv=0
のとき
v=gradφ
とスカラー関数(ポテンシャル関数)
の勾配で速度がきまるから

Q流体力学のΓの単位は何か

流体力学ででてくる「Γ」の単位は何でしょうか?


円柱が100rpmで回転しているとあるのですが、求める式にΓが含まれていて、「Γ」自体の単位がわからず、代入できません。

ちなみに、直径は150mmです。

よろしくお願いします

Aベストアンサー

渦度ωは速度を位置で微分する
ω=rot u
ので,次元はT^(-1),単位はrad/sです。

循環Γは,接線速度に周長を掛けた積分
Γ=∫udc
なので,次元はL^2*T^(-1),単位はm^2/sです。

http://hooktail.sub.jp/vectoranalysis/VortexCirculation/

Q流線の描き方

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流れの様子を表すためにベクトル表示だけでなく、流線も描画したいと
思っているんですが、流線をどのように描画したらいいかわかりません。
流線の定義式は dx/u=dy/v=dz/w のようですが、
離散データを用いた場合に、何を基準に線を引けばいいかわかりません。
どなたかわかる方、よろしくお願いします。

Aベストアンサー

速度 u(x,y,z), v(x,y,z), w(x,y,z) は分かっていで、そのベクトル表示だけでは物足りないので、流線(流れ関数)も描きたいということですね?

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数値計算で3次元空間の流れ関数 ψ(x,y,z) を求め、さらに ψ (x,y,z) = c となる (x,y,z) を求めて、c を変えたときの等高線を描くというのは大変だと思います。

[1] 4.1 三次元流線の計算 http://www.istc.kobe-u.ac.jp/contents/about_istc/mage/mage25/notod/notod.html
[2] 1.4.4 流線・テスト粒子法について(本文10ページ) http://www.cs.tsukuba.ac.jp/H13Syuron/005328.pdf
[3] 流線の計算方法(A-4ページ) http://www.kgt.co.jp/viz/manual/exp70/modguid_70.pdf
[4] 流速とは流線の数である(式(3)の後の注) http://www12.plala.or.jp/ksp/vectoranalysis/VectorFieldFlux/

速度 u(x,y,z), v(x,y,z), w(x,y,z) は分かっていで、そのベクトル表示だけでは物足りないので、流線(流れ関数)も描きたいということですね?

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Q実質微分とは

こんばんは。

実質微分とは分かりやすく言うとなにを表しているのでしょうか?
普通の微分、偏微分とはどのように違うのでしょうか?
見識のある方、宜しくお願いします。

Aベストアンサー

私なりに微分について回答させてください。
y=sin x という関数は、xが限りなく0に近いときにはy=xと近似できることは知っていますか?おそらく偏微分という言葉を知っている方ならご存知だと思います。
 微分というのはこのy=sin xという関数をy=x に近似した行為に似ます。今の例では、xが限りなく0に近いという条件がついていましたが、微分をする際にはこの条件が「xの変化が限りなく小さいとき」という条件になるのです。
 たとえば、y=x^2という関数において、x=2.0からx=2.000000000000000001に増加したときは、yの増加のしかたはy=x^2とy=2xではほぼ変わりません。
ではx=2.000000000000000001からx=2.000000000000000002に増加したらどうかというと、これも二つの関数の間には差はほぼありません。0.000000000000000001増加するところのどこを取ってもy=2xとy=x^2という関数はほぼ同じものになります。
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 上空から地上の景色を見たときと、地上にいるときの景色は違います。上空からは広い範囲が見えて、人は米粒のように見えますが、地上にいたら狭い範囲しか見えないが、人の表情や町の様子がはっきり見えます。
 何が言いたいかというとy=x^2に見えていた関数が実は限りなく細かく区切って見てみるとy=2xという関数であった、ということです。
 1人1人の人間に見えても実は無数の分子からできているように、通常の関数の世界と微分した世界では見方が違います。人間界が通常の関数の世界で、微分が分子レベルの世界です。要は関数に対する視点の違いです。
 細かく分けてみたらy=x^2がy=2xに見えた。その細かく分割したのをひとつひとつつなげたのが積分です。
 ちなみにdxというのは微小変化ですよね。これが細かく区切った最小単位だと考えれば、(dy/dx)*dx=dyなどといった意味不明な計算が成り立つのも納得いただけるかもしれません。
 以上、微分の説明でした。とても分かりにくくてすみません。結局言いたかったことは、微分がミクロで積分がマクロの世界だということです。
 また、偏微分はある一方向のみに細かく区切ったときのf(x,y)の振る舞いかたを表します。
 長くてすみません。

私なりに微分について回答させてください。
y=sin x という関数は、xが限りなく0に近いときにはy=xと近似できることは知っていますか?おそらく偏微分という言葉を知っている方ならご存知だと思います。
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 たとえば、y=x^2という関数において、x=2.0からx=2.000000000000000001...続きを読む

Q積分で1/x^2 はどうなるのでしょうか?

Sは積分の前につけるものです
S dx =x
S x dx=1/2x^2
S 1/x dx=loglxl
まではわかったのですが
S 1/x^2 dx
は一体どうなるのでしょうか??

Aベストアンサー

まず、全部 積分定数Cが抜けています。また、積分の前につけるものは “インテグラル”と呼び、そう書いて変換すれば出ます ∫

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∫f(x)dx=F(x)の時、
(d/dx)F(x)=f(x)です。

また、微分で
(d/dx)x^a=a*x^(a-1)になります …高校数学の数3で習うかと
よって、
∫x^(a-1)dx=(1/a)*x^a+C
→∫x^adx={1/(a+1)}*x^(a+1)+C
となります。

つまり、
∫1/x^2 dx=∫x^(-2)dx
={1/(-2+1)}*x^(-2+1)+C
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=-1/x+C

です。

Qベルヌーイの定理とは?

初心者にも分かり易くベルヌーイの定理を教えてください。

Aベストアンサー

ベルヌイの式とは、皆さんが回答されているとおり、流体に関するエネルギー保存の式でいいと思うのですが、初心者に誤解を与えかねないような回答がありますのでコメントさせて下さい。

まずNo.4の方がおっしゃっているのは連続の式のことでベルヌイの式とは関係がありません。非圧縮性流体とは密度が一定の流体のことを意味し、流れが速かろうが遅かろうが分子間の距離は一定のままです。また分子間の距離は圧力とは関係がありません。関係するのは温度です。

翼の説明に関して、No.3の方が「翼の前面で分かれた空気は翼の後縁で一緒になります(これは厳密にいうと仮定でして、必ずしも一緒にならないこともあり得ます)。 」と書いておられますが、通常は上面の流れの方が後縁に先に達し、翼の後縁で一緒になることはありません。


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