時計の進み方は、地表より地球の中心の方が遅いですか？

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質問者：s_hyama
質問日時：2023/01/07 07:01
回答数：2件

例えば, GPS衛星に搭載された原子時計と地表の時計の進み方の比は,
地表の光速度(c): 299,792,458 m/s．
地心重力定数(GM): 3.986e + 14 m³/s²．
地球半径(r): 6,378,000 m．
無限遠の波動速度, w∞ = (c² + 2GM / r)¹ᐟ²．
GPS衛星の高度(h): 20,200,000 m．
GPS衛星の軌道速度(v): 3,874 m/s．
GPS衛星の波動速度, wg = (w∞² - 2GM /[r + h] - v²)．
光時計の進み方の違い, wg / c = 1 + 4.45e-10．
https://note.com/s_hyama/n/nb3a040bb74e0

地球の中心からの距離をＲ，地球の表面までの距離をaとすると、重力は中心では０なんです。

0<R<aで（ーGMmR/a³）、R>aで（ーGMm/R²）

しかし重力ポテンシャルは、中心の方が表面やその上空より大きいんです。

0<R<aで（GMR²/a³ー3GM/a）、R>aで（ー2GM/R）

この重力ポテンシャルや相対速度の差により、時計の進み方や光速は変化するとすると、時計の進み方は、地表より地球の中心の方が遅いですか？

以下は嘘ですよね？

更に、これに重力の影響や加速・減速を加味した重力理論が「一般相対性理論」です。
簡単に言えば、重力も時間を遅らせる原因となるという訳です。重力は地球の中心から離れるほど弱くなるので、エベレスト山頂にある時計に比べて、地上にある時計はごくわずかですが、ゆっくり進むというものです。https://museum.seiko.co.jp/knowledge/story_04/

補足日時：2023/01/07 07:40
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回答 (2件)

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No.2

回答者： masa2211
回答日時：2023/01/09 17:09

>以下は嘘ですよね？

>重力は地球の中心から離れるほど弱くなるので
＞エベレスト山頂にある時計に比べて、地上にある時計はゆっくり進む

嘘と言えばウソかも。
理由：重力加速度の違いで時計が進むのではなく、重力ポテンシャルの違いにより進むから。単に重力と書いた場合、重力加速度のことなのか重力ポテンシャルのことなのかが不明確であるため、重力加速度に誤解されるので、こういうことは書かないほうが良い。

で、あなたは、
>重力は地球の中心から離れるほど弱くなる
の部分が嘘と言っています。
別に、こういうのが間違いだとも嘘だと思いません。

理由。
重力というのは重力加速度とも重力ポテンシャルともとれるところ、
重力ポテンシャルならばok。
重力加速度なら、確かに地球中心はゼロですが.....
この記述のあったＨＰの記事は一般向けに書かれているから、多少不正確であっても例外的が事象は省略して書くほうが文章として妥当だから、別に目くじら立てません。厳密性優先すれば混乱するだけだから。
もし、学術論文などであれば、
・重力加速度は地球の中心から離れるほど弱く　　は間違いだし、
・重力加速度は地球表面で最大　　　　　　　　　も間違い。（後述。）
こんな判定となります。

で、あなたの文章も学術論文のつもりで読むなら
1.グラフに軸の説明が無い。
　数値からみるに、X軸が地球半径（地表＝1.0）、Y軸が重力加速度兼重力ポテンシャルなのだろうけど、書いてないのでダウト。
2.（地球←明記してるよね？）の重力加速度グラフの形が違う。
　重力加速度が最大となるのは、グーテンベルク不連続面。地下2900キロ。
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%9C%B0%E7%90%83 …
　あなたの示したグラフは、星の密度が深度にかかわらず一定の場合のグラフ。星の密度が一定の場合のグラフだという注意書きが無いので、地球の重力のグラフとはいえない。何より、地下2900キロ地点では、数値に2倍の差がある。これ無視していいの？という話になる。

まあ、2.は、屁理屈みたいなものですが、2.が屁理屈なら、同様に、
・重力は地球の中心から離れるほど弱く（地下に対しては嘘）
も屁理屈。
よって、
>重力は地球の中心から離れるほど弱く
も、ただ単に、厳密には正しくない　となり、間違っているとか、嘘、とか、言ってはダメになる。