地球の内部に物体があるとき、その外側からの引力が打ち消しあうのはなぜなんでしょうか？

大学受験の頃、物理でよく登場していた「地球トンネル」の問題なんですが、
ふと気になって「そういえばなんで地球内部に物体があったとき、外側にある物質による引力が相殺されるんだろう？」と思い自分なりに考えてみたんですがなかなかわからなくてモヤモヤしてます、、、
できれば式を用いて定量的に解説していただけるとありがたいです！
（もちろん定性的な解釈の仕方も教えていただけるとすごく助かります！）

No.2 ベストアンサー 回答者： tknakamuri 回答日時： 2019/05/25 07:36

まあ一度は重力を積分で求めてみるのも良いでしょう。

重力を直接積分で求めるのではなく、重力ポテンシャル
を求めて微分するのが定石
http://hooktail.sub.jp/mechanics/gravitySphere/

で、こんな苦労をしなくても、電磁気学の電場と電荷の関係
E(r)=kQ/r^2(Eは原点から外向のベクトル)
は重力加速度と質量の関係と同じ
g(r)=-Gm/r^2
なので、ガウスの法則が重カにもそのまま使える。

つまり、質量分布が原点に対し球対称な場合、
原点を中心とする球上の重カ加速度は
球内の質量の総和と球の表面積のみで決まる。

g=4πG(球内の質量の総和=M)/(4πr^2)=GM/r^2

これを使えば、中空の球の内部は無重力とか
瞬間的に求まります。

この回答へのお礼

実はまだ大学一年生で、教えて下さったサイトの積分計算がよくわからなかったのですが、
Pが球殻の内部にある時の、　∫ｄψ＝－GdM/r より、球殻の内部ではポテンシャルエネルギーがどこでも変わらないから、無重力であるということで良いんでしょうか？
また、重力を直接求めないのはなぜなんでしょうか？
そして、ガウスの法則の話は、中空の球の内部は質量が０なのでｇ＝０となるということでしょうか？
質問が多くてすいません！

お礼日時：2019/05/25 18:52

No.5 回答者： konjii 回答日時： 2019/05/26 07:39

地球内部に物体があったとき、外側にある物質による引力と内側にある物質による引力が相殺されない、とした場合矛盾を見つければ良い。

でいいですか。

No.4 回答者： tknakamuri 回答日時： 2019/05/25 19:47

>球殻の内部ではポテンシャルエネルギーがどこでも変わらないから、

>無重力であるということで良いんでしょうか？

で、良いです。ポテンシャルの空間微分は gradって奴を
使いますがこれは微分の3次元拡張。ベクトル解析で学んで下さい。

>重力を直接求めないのはなぜなんでしょうか？

ベクトルを積分するのはしんどいからです。やってみればわかります。
ポテンシャルはスカラーなんで方向とか考えなくてよくて簡単。

>ガウスの法則の話は、中空の球の内部は質量が０なので
>ｇ＝０となるということでしょうか？

それであってます。

ガウスの法則は、電荷や質量がスプリンクラーで
電場や重力は水の流れと考えると楽。水の流れを想像すると
中空の球の場合、球殻から染み出た水が行き場のない球の中に
入ってゆくわけないので・・・と考えると
重力の形を容易に想像出来ます。

この回答へのお礼

返信ありがとうございます
電荷や質量がスプリンクラー（水の源）と考えるのはすごくしっくりきました。それに力を求めるためにエネルギーから考えるという方法には初めて出会ったのですが、新鮮でおもしろかったです

お礼日時：2019/05/25 20:20

No.3 回答者： konjii 回答日時： 2019/05/25 08:08

地球内部に物体があったとき、外側にある物質による引力が相殺されない、とした場合矛盾を見つければ良い。

その場合、物質は一番安定な場所へ移動します。その場所は、均等に引力の受ける地球の重心です。最後に、地球内部に物体は全て重心に集まって、点状の惑星になります。他の惑星、星、衛星も点になります。しかし、宇宙はそのような大きい質量の点で出来ていません。（このように考えると、星の最後は膨張したり収縮してブラックホールになるのは嘘くさいですね。また、ダークマターなる物質はビッグバン理論が正しい場合に限り存在する物質です）
よって、仮定は間違い。命題は正しい。
数式を使わなければこれだけで証明されます。

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。
それで少し質問があるのですが、
外側にある物質による引力が相殺されていても、結局内側にある物質の引力は働くので重心が一番安定だというのは変わらないのではないでしょうか？
また、物体に重心に向かう引力がかかって地球が点になるということなんですが、
引力がかかるのに応じて、圧縮されるのに対する外向きの圧力がかかって地球は結局つぶれないのではないでしょうか？
思い違いをしていたらすいません、、

お礼日時：2019/05/25 18:32

No.1 回答者： yhr2 回答日時： 2019/05/24 21:23

＞大学受験の頃

ということは、もう大学生以上なのですね？
だったら「積分」はできますね？

「地球が密度の均一な球」と仮定してよければ、地球の半径以下の場所に「質量 m の物体」を置いた場合の、地球の「微小体積」との間の万有引力を求め、その「微小体積」を「地球全体で積分」してください。そうすれば「地球全体との万有引力」の大きさと方向が求まります。

いろいろ複雑な条件（密度の不均一など）も含めて、下記に考察されているようですので、参考にしてください。
（手っ取り早く結論を知りたければp-7の「考察」を見ればよい）
http://takeno.iee.niit.ac.jp/~shige/math/lecture …

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。
おっしゃっていることは大体わかるんですが、実際にどうやって積分計算をするのかがわからないです。
私は今大学一年生なんですが、大学一年の知識ではできないんでしょうか？

お礼日時：2019/05/25 18:57