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No.3ベストアンサー
- 回答日時:
失礼、見直してみたらマクローリン展開近似は使ってませんでした。
お詫びに;
1.
高校物理で教わるのは、
エネルギE = 力F×距離r
というエネルギの定義です。
この機会に
これを積分した形
E = ∫Fdr
で覚えましょう。
重力の式
F(r) = GmM/r^2
をやると簡単に
E(r) = -GmM/r
位置エネルギの式になります。
2.
r=R と r=R+H での差は、
E = E(R)-E(R+H)
= -GmM/R + GmM/(R+H)
= -(GmM/R^2)・H/(1+H/R) …(1)
3.
Hが非常に小さい場合が一様重力場です、すなわち H/R << 1 として
E = -(GmM/R^2)・H
です。
一様近似で h の場合の E は、
E = -(GmM/R^2)・h
ですから、このエネルギを(1)式に入れると、
h = H/(1+H/R)
となって
H = h/(1-h/R)
ですね。
式の途中を大幅に省略してるので自分で間を埋めてください。
(もしポテンシャルが嫌いで運動方程式の微方でやりたい場合は、加速度=重力加速度 と置いて
d2r/dt2 = -gR^2/r^2
です。変数分離できるようにd2r/dt2=dv/dt=dv/dr・dr/dt=dv/dr・v …以下略)
ご丁寧にとてもわかりやすく、細かく説明してくださりありがとうございました。しかもわざわざ訂正まで・・・。目からうろこ状態です。途中もばっちり埋められました。
おかげで理解することができ、本当にありがとうございました。
No.2
- 回答日時:
質量mが一様重力加速度gの場で高さhにある位置エネルギは
mgh
質量mと地球との重力位置エネルギは、互いの中心から測った距離 r で表すと
E(r) = -mGM/r Gは万有引力定数
前者のエネルギが後者の場ではどうなるか、という事です。普通、地表r=Rでのgは
g=GM/R^2
あと、h<<R の場合、
1/(R+h) = R(1+h/R)^-1 ≒ R(1-h/R)
の近似を使ってるようですね。
No.1
- 回答日時:
Rは地球の半径ですか?
下にほぼ答えを書いてしまったので、その前にヒントだけを。
「重力が一様であれば高さhまで達する初速度で物体を鉛直に投げ上げたとき」というのは、重力加速度が地表からの高さによらないという意味でしょう。
けれども、本当は、高いところにある物体は、地球の中心から遠い所にあるわけですので、そこに働く地球の万有引力は、地表に物がある場合よりも小さくなるはずです。そこらへんを考えればいいと思います。
ちなみに、
「実際のところ物体はh/{1-(h/R)}までしかあがらない」と書いてお]られますが、
h < h/{1-(h/R)}
ですから、本来よりも高くあがるはずですね。
物体の質量をmとすると、
「重力が一様であれば高さhまで達する初速度」をvとすると、エネルギー保存式より、
mgh=1/2*m*v^2 --- (1)
です。ただしgは重力加速度。
地球の質量をM、実際に物体が上がる(地表からの)高さをh'とすると、エネルギー保存の式より、
G*(M*m)/(R+h')=G*(M*m)/R+1/2*m*v^2 --- (2)
です。Gは万有引力定数。
それから、地表での重力加速度の式は、
G*(M*m)/(R^2)=mg --- (3)
です。
実際に解いてないので不安ですが、多分(1)~(3)を連立させて、h'について解けばいいのではないでしょうか。
地球中心から離れるに従って重力は減っていくわけだから、実際は予測よりも高く上がりますね・・・(汗
おっしゃるとおりです。丁寧な解説とご指摘ありがとうございました。
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