万有引力と重力加速度から得られる式について

Gは万有引力定数、Mは地球の質量、ｇは重力加速度(地表での)、Rは地球の半径

GM=gR^2　という変換公式がありますがそもそも地表での万有引力と重力が等しいというところから求めたのだから地表以外では代入できないということですよね？
この式を問題集では地表から高さｈの位置を等速円運動している物体に平気で代入しているのはなぜですか？それなら宇宙全体どこでも地球への重力加速度は一定となりませんか？

じぶんの考えではg=Gm/(R+h)^2でR+hの点での重力加速度が求められ、代入するならGM=g(R+h)^2でがスジが通るのでは？と思っています。なぜなのか教えて下さい

No.1 回答者： cozycube1 回答日時： 2012/05/20 08:14

　地表付近以外では使えないということですね。

　万有引力式、F＝GMm/r^2というのは、距離rにある質量Mの物体と質量mの物体の間に働く力で、物体を質点（または球対称で距離は中心からとする）として、いかなる距離でも成り立ちます。

　また、F＝maという基本の式を使えば、重力による加速度はma＝GMm/r^2　∴a＝GM/r^2ということになります。

　これを、地球の半径をRとし、地表での重力加速度をgとすれば、g＝GM/R^2ですね。これが、9.8m/s^2という定数のようにして頻繁に使われます。

　ここまでは文面から読み取れますので、ご理解されておられるものと思います。あくまでも確認のために書いてみました。

　gを値が変化しない定数のようにして扱うのは、通常の航空機が飛ぶ高度も含む地表付近であれば、地表からの高度hは、地球の半径Rと比べて圧倒的に小さいからです（R≫hなどと書いたりします）。
　地球は、赤道半径6378km、極半径6357kmです。21kmも差がありますが、特に必要が無い限りgの値を変えずに計算します（ついでに言えば、赤道で最大の自転による遠心力も）。

　第一近似として、20kmやそこらでは、gが一定として計算してよいのです。それで充分な精度があります。

　もし、高度hが半径Rに比べて、無視できないほどであれば（宇宙船などですね）、hが一定としても地表でのgとは違うg'が必要ですし、もしhが変化する場合を考えるなら、g'が変化して行くとして計算する必要が出てきます。

　たとえば、第一宇宙速度という地球に対する公転速度があります。定義としては地表スレスレをずっと周回できる衛星の速度です（空気抵抗は無視したもの）。もちろん、地球の半径が赤道上と、北極・南極で違う程度の差は問題となりません。その程度の高度hは問題ではなく、この衛星に働く重力加速度はgでよいのです。

　以上のように、R≫hであるなら、近似的にh＝0としてしまってよいのです。
　あるいはR≫hとできなくても、hが一定であるなら、gの具体的な値はhに応じたものを使えばいいわけです。。

　問題集の前後が分かりませんが、地球の半径Rを使い、高度hを無視しているなら、R≫hという想定でのことでしょうから、こうした地表付近として、地表同様の近似の範囲内で大丈夫だと言うことになります。

　ただ、そうしたことを明記していないのであれば、不親切、あるいは不明瞭な問題だとは思いますが。

この回答への補足

　問題集の前後が分かりませんが、地球の半径Rを使い、高度hを無視しているなら、R≫hという想定でのことでしょうから、こうした地表付近として、地表同様の近似の範囲内で大丈夫だと言うことになります。

＞＞　問題集の前後が分かりませんが、地球の半径Rを使い、高度hを無視しているなら、R≫hという想定でのことでしょうから、こうした地表付近として、地表同様の近似の範囲内で大丈夫だと言うことになります。

そうなっていますか？

補足日時：2012/05/20 12:23

No.2 回答者： osaka-girl 回答日時： 2012/05/20 09:28

おっしゃるとおりです。

その式で計算すればよいのです。
もっと細かい話をすれば、他の天体の影響や地表面が真球でないことを
どう評価すということになります。これでは問題の答えは出ませんね。

物理学の場合、あんまり小さな桁数まで計算しても意味がないと考え
ある程度の桁数まで問題ないのであれば、簡単な式を使うというのが
一般的ですので、地表面からの高さが山の高さぐらいならその影響を
無視した式を使うというのはそれなりに正しいことです。

No.3 回答者： tknakamuri 回答日時： 2012/05/20 09:52

問題と回答の内容がわからないとなんとも言えません。

この回答への補足

------------------あまりのも意見が多いので問題を載せます-------------

図のように、地上hを等速円運動している質量ｍの人工衛星Sを考える。地球の半径をR、地上での重力加速度の大きさをgとし、Sには地球からの万有引力以外の力は働かないものとする。((全文))
(1)Sが地球からの重力の大きさFをg,h,m,Rを用いて表せ。また、この機動での重力加速度の大きさaをg,h,Rを用いてあらわセ。

補足日時：2012/05/20 12:21

No.4 ベストアンサー 回答者： htms42 回答日時： 2012/05/20 11:11

なぜ使ってはいけないのですか。

この式はＧＭを地球の半径Ｒと地表での重力加速度ｇで表したものです。

＞じぶんの考えではg=Gm/(R+h)^2でR+hの点での重力加速度が求められ、代入するならGM=g(R+h)^2でがスジが通るのでは？と思っています。なぜなのか教えて下さい

どうやってｇを求めるのですか。この式のｇは地表からの高さｈのところ重力加速度の値です。測定しなければ分かりません。測定をしないとすればＧＭが必要です。そのＧＭの値が地表のｇの測定から分かるということを言っているのです。
重力の加速度に同じ文字を使っているところが混乱の原因でしょう。
地表での重力加速度の値をｇｏ、高さｈでの重力加速度の値をｇとします。
ＧＭ＝ｇｏＲ^2
ｇ＝ＧＭ／(Ｒ＋ｈ)^2
　＝ｇｏ（Ｒ／（Ｒ＋ｈ））^2　

地表の重力の値が分かっていれば高さｈでの重力の値は出てくるのです。

この回答への補足

訂正です
a=Gm/(R+h)^2で任意の位置に重力加速度(g=9.8とは異なる)が得られるのではないかと思ったのです
ですから
＞＞どうやってｇを求めるのですか。この式のｇは地表からの高さｈのところ重力加速度の値です。測定しなければ分かりません。測定をしないとすればＧＭが必要です

ということであなたの回答と同じように高さhのところでの重力加速度aが得られるのではないかと思ったのです。


------------------あまりのも意見が多いので問題を載せます-------------

図のように、地上hを等速円運動している質量ｍの人工衛星Sを考える。地球の半径をR、地上での重力加速度の大きさをgとし、Sには地球からの万有引力以外の力は働かないものとする。((全文))
(1)Sが地球からの重力の大きさFをg,h,m,Rを用いて表せ。また、この機動での重力加速度の大きさaをg,h,Rを用いてあらわセ。

補足日時：2012/05/20 12:20

この回答へのお礼

さらに補足意見。一応お礼

みんなの回答を読んでわかったかもしれない！？確認してください

高度ｈの重力加速度aとするとa=GM/(R+h)^2、地表での重力加速度はg
よりF=gR^2/(R+h)^2このgは地表での重力加速度だから変形しても高さhでの重力加速度は求まらない。gR^2=GMをつかえば

a=gR^2/(R+h)^2で高さhでの重力加速度が求められる。つまりGもMも定数なので
加速度は距離分の距離の二乗×地表での重力加速度で、重力加速度は距離だけに影響されるということですね！！と言うことは地表での重力加速度がわかっているのであらゆる距離での地球に対する重力加速度がもとめられる。

お礼日時：2012/05/20 12:37

No.5 回答者： cozycube1 回答日時： 2012/05/20 13:31

　補足、承りました。

#1です。

　他の回答者様への補足で、問題文も読ませていただきました。

>そうなっていますか？

　判断できません。模範解答例が示されないと、何とも言えません。

　その辺りがよく分からなくて、

>ただ、そうしたことを明記していないのであれば、不親切、あるいは不明瞭な問題だとは思いますが。

と書いたのは、そうなっていない場合を予想して申し上げたのです。しかし、それも違うようです。

>g=Gm/(R+h)^2でR+hの点での重力加速度が求められ、代入するならGM=g(R+h)^2でがスジが通る

　g=Gm/(R+h)^2は、g=GM/(R+h)^2のおつもりですね。そうでなければ、GM=g(R+h)^2とはならないですから。ここは、お考えの通りです。h＝0とした地表で成り立つものです。
　
　これは、近似かもしれないということで、前回の回答で申し上げました。そして近似という予想での回答は外れました。

　地表での万有引力を考えて、F＝GMm/R^2で、F＝mgより、mg＝GMm/R^2　∴g＝GM/R^2　∴M＝gR^2/G。

　こうして地球の質量Mが他の定数で表せることになります。

　高度hでの万有引力を考えて、

F'＝GMm/(R＋h)^2＝GMm/(R＋h)^2＝G(gR^2/G)m/(R＋h)^2＝mgR^2/(R＋h)^2
＝mg(R/(R＋h))^2

が出ます（距離の比が目立つよう、2乗の項はまとめてみました）。これが衛星に掛かる重力ですね。

　そして、加速度aはF'＝maから、ma＝mg(R/(R＋h))^2　∴a＝g(R/(R＋h))^2です。

　もちろん、GM=gR^2をそのまま使うのは（上ではいきなりg＝GM/R^2にしていますが同じ式です）、地表で成り立つことを使って、Mを他の定数で表せるようにして、高度hでの重力F'と加速度aをg,h,m,Rで表すためです。

　問題文と模範解答のどちらも示されないと、何とも申し上げられないことはご理解をお願いします。その二つをセットにしないと判断しようがないことは、この問題以外でもよくあります。

　もちろん、「そういうパターンなら、まず間違いなくこうだな」というケースもあったりはしますが、今回はそうではありません。

　まず問題文は見なければなりません。もし近似を用いるとしても、それが適切かどうかも判断せねばなりません。たとえば、R≫hで、単純なh＝0以外に、h≠0だけどh^2＝0なんてこともあります。

　私だけでなく、ここの回答者の皆様は、そうした判断を必要とする問題を百どころではなく千のオーダーの回数、解いています。それ以上の方も少なくないでしょう。

　それだけに、「うーん、いろんなケースがあるからなあ」と悩んでしまいます。考えられるケース全部を書いてみるわけにもいきません。
　4千字制限の回答欄では足りないし、分割したとて、トータルの文章力もありすぎて、時間も労力も足りません。

　もし、質問者様が模範解答例が不適切とお考えであれば模範解答もお示しくださいますと、本当にそうかどうか、何か申し上げられることもあるかもしれません。

この回答へのお礼

いえいえ模範解答は限りなく模範でした
まとめて下さってありがとうございました。GmはGMでした大きな違いですね（笑）
gも定数という観念がぬけていたようです。これで全て解決しました。
ありがとうございました。(*´∀｀)

お礼日時：2012/05/20 14:03