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円運動・単振動に関する問題で

名問の森より、写真の問題の(2)の考え方について質問です。模範解答は、
AB間の中間点をCとし、見かけの重力を用いて、点Cを最下点、線分ABを水平面と見て、力学的エネルギー保存則より…という解答でした。

しかし自分は、
点Aを最下点とみて、AC間での力学的エネルギー保存則が成り立つ、と考えたのですが、これは成り立ちません。どうしてでしょうか?
よろしくお願いします。

「円運動・単振動に関する問題で 名問の森よ」の質問画像

質問者からの補足コメント

  • うーん・・・

    写真は模範解答です。
    自分の解答は

    求める速さをvとする。A点を最下点と見てAC間の力学的エネルギー保存則より
    1/2 mv2+mgl(1ーcosθ/2)=0
    ∴v2=2gl(cosθ/2ー1)<0
    vの値が存在しない。

    この式は、A点で静止状態のPが、C点では運動エネルギーと位置エネルギーを持っている。=C点で動いているPが、A点では静止する。ということで、Pに外力が働いていないとありえない=外力が働いていてこのエネルギー保存則は成立しない。

    確認
    ①張力が仕事をしていて(=電車による力によって?)エネルギー保存が成立しない?

    ②模範解答では、C点を振動の中心とした時、振り子自体に働いている外力を考慮して、見かけの重力加速度を用いる。だからエネルギー保存が成り立つ。

    ごちゃごちゃしてごめんなさい。
    よろしくお願いします

    「円運動・単振動に関する問題で 名問の森よ」の補足画像1
      補足日時:2017/09/22 23:30

A 回答 (7件)

<A点で静止状態のPが、C点では運動エネルギーと位置エネルギーを持っている。

=C点で動いているPが、A点では静止する。ということで、Pに外力が働いていないとありえない=外力が働いていてこのエネルギー保存則は成立しない。>
これはそのとおりなのです。

電車の中から見た場合Pが受ける力は重力以外では、糸の張力および電車の加速にもとずく慣性力です。
このうち、糸の張力はPの運動方向といつも垂直だから仕事をしません。
なので、PがAからCまで動く間にPがもつ力学的エネルギー
1/2 mv2+mgl(1ーcosθ/2)
は慣性力がする仕事に等しいということなのです。

この慣性力は電車の加速方向と逆向きで水平方向に一定値 mgtanθ/2をもつから
PがAからCに動く間にする仕事は
mgtanθ/2×lsinθ/2 (水平方向に一定値だからする仕事はPの水平方向の変位に比例する。)
したがって
1/2 mv2+mgl(1ーcosθ/2)=mgtanθ/2×lsinθ/2 とおけば tan=sin/cos、sin²+cos²=1を利用して
模範解答と同じ結果になります。
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この回答へのお礼

ありがとうございます!
C点でエネルギーを得ているのは、慣性力が仕事をしたからなんですね!!
すごく感動しました。ありがとうございます!実際に計算してみると、少しだけ大変でした、模範解答のように解くのがベストですね。本当にありがとうございますm(_ _)m

お礼日時:2017/09/23 19:25

まず、どこからPを見ているのか整理しましょう(^^)



1)電車の外から見た場合(もちろん静止している観測者を考える)・・・Pに働く力:重力と張力
Pは電車とともに加速しますが、これは張力によって生じます
つまり、張力は仕事をするので、力学的エネルギー保存則は使えません
「確認」の①は電車の外から見た場合ですね

2)電車内から見た場合・・・Pに働く力:重力、張力と慣性力
この時は、電車の加速度運動が見えなくなりますが、そのかわりに慣性力が働くんですね
張力はPの運動方向(つまり速度の方向)とは常に直交しますので、仕事をしません
ですから、仕事をする力は重力と慣性力です
で、慣性力ですが、慣性力が一定(つまり電車の加速度運動が一定)ならば、保存力となります
重力と慣性力を分けて力学的エネルギー保存則を書いてもいいのですが、
そうすると面倒になります(実際に式を書いてみれば、面倒なのが分かります)
そこで、重力と慣性力の合力である「見かけの重力」を使って力学的エネルギー保存則の式を書きます
これが「確認」の②ですね

質問者さんが書いた式ですが、
問題には「車内にいる人が見るものとし」と書かれてある事から、
慣性力の仕事が抜けてしまっています(^^;)
また、見かけの重力を使って、Aを基準に式を書くのでしたら
1/2 mv2-mg'l(1ーcosθ/2)=0
となります(^^)
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この回答へのお礼

ありがとうございます!!
車内からみる時では慣性力がありますね、今後忘れないように気をつけます。慣性力が仕事をしているから、それを式に入れなきゃいけなかったんですね。すごくスッキリしました。
ありがとうございました!!!

お礼日時:2017/09/23 19:30

>求める速さをvとする。

A点を最下点と見てAC間の力学的エネルギー保存則より
>1/2 mv2+mgl(1ーcosθ/2)=0

見かけの加速度が無視されてますね(^^;
これじゃ駄目です。
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重カと電車の加速によって生じた


見かけの力の合成は、振動の中心方向、
つまり、後方にθ/2方向になるのは明らかですから
見かけの力を質量で割った加速度βは
β=g・tan(θ/2)
合成した加速度の大きさはαは
α=g/cos(θ/2)

これから(2)、(3)は簡単に求まります。

力学的エネルギー保存則をθ/2傾けて
使うことになりますね。
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点Aを最下点とみて、AC間での力学的エネルギー保存則が成り立つ、という考え方でも構わないのですが、


要は、そう考えて、どんな式を立てたかですね(^^;)
そこまで示してくれれば、何が間違っているのか指摘できると思います(^^)
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Aが最下点とすると重力が下向きでそれ以外の外力がかかっていない系で観測しているということになります。


これは地面に対して静止している系での観測ということになります。

この場合、電車の加速に伴い糸が電車に引っ張られることになります。この力が振り子に対する外力として働きます。
この力は保存力ではないため、この観測系では力学的エネルギーは保存しません。
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>点Aを最下点とみて、AC間での力学的エネルギー保存則が成り立つ、と考えたのですが



そのときの、A点の位置エネルギー、運動エネルギーはどうなりますか? 「最下点」ということは、そこを「位置エネルギー = 0 」にする?
では、C点の位置エネルギーは? その「位置エネルギー」の源となる「模擬的な重力場」の方向と大きさは?
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