No.1ベストアンサー
- 回答日時:
中線定理を使えば簡単に示せます。
BCの中点をMとすると中線定理より
AB^2+CA^2=2(AM^2+BM^2)
AG=(2/3)AM,BM=(1/2)BCですから
AB^2+CA^2=(9/4)AG^2+(1/2)BC^2
B,Cを頂点とした式を立てて、全ての式を足し合わせると上記の式が得られます。
中線定理、というものがあるのですか。
知りませんでした。。。
調べてみましたが、やっぱり三平方が少し関係しているようですね。
素早く簡潔な回答、ありがとうございました。
No.2
- 回答日時:
>2乗だから三平方?
座標を使えばそれでも解けるし、単なる計算問題に過ぎない。
A(0、a)、B(-b、0)、C(c、0)とする。但し、a>0、b>0、c>0.
三平方の定理より、(AB)^2=a^2+b^2、(BC)^2=(b+c)^2、(CA)^2=a^2+c^2.
従って、AB^2+BC^2+CA^2=2(a^2+b^2+c^2+bc)‥‥(1)
重心G{(c-b)/3、a/3}であるから、(AG)^2={(c-b)/3}^2+(2a/3)^2、(BG)^2={(c+2b)/3}^2+(a/3)^2、(CG)^2={(2c+b)/3}^2+(a/3)^2。
よって、AG^2+BG^2+CG^2=実際に計算して=(2/3)*(a^2+b^2+c^2+bc)‥‥(2)
以上から、(1)と(2)により、AB^2+BC^2+CA^2=3(AG^2+BG^2+CG^2)。
座標を使うと計算が面倒かな、とも思ったのですが、数学に対してその姿勢は間違っていましたね。
これを見ながら座標で計算してみたら、思ったより早く確かに答えに辿りつきました。
回答ありがとうございました!
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