図形と式の問題です。

図形と式の問題です。

3点o(0,0),A(4,0),B(2,2)を頂点とする三角形OABの面積を、直線y=mx+m+1が2等分するとき、定数mの値を求めよ。

という問題です。答えはm=(3-2√5)/11なのですが、解いてみても答えにたどり着きません。解き方が間違っているのか、計算ミスなのか、何かご指摘いただけたらありがたいです。


y=mx+m+1より、m(x+1)-y+1=0
よって直線はmの値に関わらず点(-1,1)を通る。
したがって直線はOB,ABを通るのでそれぞれの交点をP,Qとする。
△OAB=4より、△BPQ=2
直線とOBとの交点の座標Pは、計算して、(-(m+1)/(m-1),-(m+1)/(m-1))
ABとの交点の座標Qは、計算して、((3-m)/(m+1),(5m+1)/(m+1))
よって、BP,BQの長さは、それぞれ計算すると√2(3m-1)/(m-1),√2(3m-1)/(m+1)
したがって、△BPQ=1/2×√2(3m-1)/(m-1)×√2(3m-1)/(m+1)=2
7m^2-6m+3=0

となってしまって、解がないことになってしまいます。
どうしたらよいのか、教えて頂けないでしょうか。よろしくお願いします。

No.4 ベストアンサー 回答者： naniwacchi 回答日時： 2010/11/05 09:17

#1です。

#3が言われているように、常に論証を「読み返す」くせをつけてください。
記述式で矛盾を含んだり、表現がおかしかったりするものは、
自分で書いたものを読み返していないことが多いです。

で、いまの問題だと、以下のような感じで間違いに気付きました。
・「解なし」はおかしい（これは質問の時点で気付いていますね）

・でも、実際にそのような直線が引けるということは、そのような実数：mは存在している。
じゃあ、どこがおかしいのか？

・「引き算」という操作があやしいかなあ・・・
実際、辺BP、辺BQの長さを求めるときの引き算で違和感が出てきました。


直角二等辺三角形の１：１：√2を単純に使ってしまったがゆえに、正負を見落としてしまっていますね。
純粋に、三平方の定理を用いていれば変わっていたのかもしれません。

いまの回答を修正するには、「絶対値」をつけるのがいいかと思います。
√2* (x座標の差)としている差の部分に絶対値をつけておきます。


ちなみに、#1の最後に書いた「中学生的な」別解では直線の傾きが等しいという式を立てるだけなので、
符号は気にしなくとも解くことができます。
（最後の 2次方程式の解を探すときは m＜ 0の条件が必要ですが）

No.3 回答者： htms42 回答日時： 2010/11/05 07:26

＞よって、BP,BQの長さは、それぞれ計算すると√2(3m-1)/(m-1),√2(3m-1)/(m+1)

長さは正のはずです。

√2(3m-1)/(m-1)　ではなくて　√2(3m-1)/(１－m)　です。
ＢＰの長さを計算するときにＰの座標についていた符号（－）を落としてしまったのではないですか。

こういう間違いのチェックは自分でできるようにならないといけません。
よく起こる間違いですからそういうチェックの回路を作っておく必要があります。
そのチェックの決め手の一つが
「長さは正のはずだ、そうなるように引き算をしているはずだ、なぜ負になってしまったのだろうか」
と考えることです。
最終結果がおかしいと分かった時に長さの表現に戻ってチェックするというのができていないことになります。
「質問に出す前に自分でチェックする！、そういうチェックの回路をつくる！」
試験場では自分で間違いを見つけることができなければアウトです。
いくら「おしい！」と言っても駄目なのです。
今回は答えが分かっていますから結果がおかしいという事は分かります。
試験場では答えは分かりません。
自分のやった手順の中に誤りがないかのチェックは絶対に必要です。

No.2 回答者： Mr_Holland 回答日時： 2010/11/03 23:08

　惜しい！　最後の詰めで・・・

＞したがって、△BPQ=1/2×√2(3m-1)/(m-1)×√2(3m-1)/(m+1)=2
＞7m^2-6m+3=0

　このｍの2次方程式を得る段階で、m<0 であることを使わなかったことが原因です。
　（m<0 は図から明らかですよね。）

　1/2×√2(3m-1)/(m-1)×√2(3m-1)/(m+1)=2
⇔(3m-1)^2=2(1-m^2)　　（∵m<0）
⇔9m^2-6m+1=2-2m^2
⇔11m^2-6m-1=0
∴m=(3±2√5)/11

　ここで　m<0 ですから　m=(3-2√5)/11

No.1 回答者： naniwacchi 回答日時： 2010/11/03 22:54

こんばんわ。

考え方はいいと思います。
ただ、少し「甘い」部分があるので、そこが原因で「解なし」だと思われます。

先に「解なし」の原因を述べておくと、
（辺の長さ）＞ 0であることが抜けていることが原因です。


以下で解答で不備になっているところを何点か。

・定点(-1, 1)を通る直線が三角形を二等分するわけですが、
いきなり「直線はOB,ABを通るので」とするのはいけません。
三角形を二分割（二等分ではない）する場合は、
i) m＞ 0のとき
ii) m＝ 0のとき
iii) m＜ 0のときで、辺OB、辺ABと交わるとき
iv) m＜ 0のときで、辺OB、辺OAと交わるとき

これだけあります。
その中で当てはまるのは、iii)のときだけです。
このように考えると、どのような値の mを考えているかがはっきりします。
すると、最初に指摘した内容も理解できるかと。


・「直線とOBとの交点の座標Pは」
「直線とOBとの交点Pの x座標は」ですね。
Pは交点であること。求めているのは単に「座標」ではなく、「x座標」であること。
この 2点を明確に記すように。
点Qについても同じですね。



ひとつ、少し違った「中学生的な」考え方を。
辺OB、辺ABとの交点（点Pと点Q）を考えるところまでは同じですが、
辺OBの中点を点Mとするとき、「直線PAと直線MQは平行」とすることもできます。
「等積変形」の問題として考えていることになります。