平面の交線の方程式

２平面の交線の方程式はどうやって求めるのですか？

例で適当に問題を作ってみたんで教えてください
x-y+3z-1=0,x+2y-z-3=0

どなたか教えていただけませんか？

No.2 ベストアンサー 回答者： fushigichan 回答日時： 2003/02/25 11:13

akatukinoshoujoさん、こんにちは。

＞x-y+3z-1=0・・・・（１）
＞x+2y-z-3=0・・・・（２）とおきましょう。
（１）（２）より、連立方程式を解いて、ｘ、ｙ、ｚをそれぞれどれか一つの文字で表していきます。

（１）×２　2x-2y+6z-2=0
（２）　　　x+2y-z-3=0
------------------------------これを足してみると
　　　　　　3x+5z-5=0
　　　　　　x=-5(z-1)/3・・・・（☆）

（１）　　　x-y+3z-1=0
（２）×３　3x+6y-3z-9=0
------------------------------これらを足し合わせると
　　　　　　4x+5y-10=0
　　　　　　4x=-5(y-2)
　　　　　　x=-5(y-2)/4・・・・（★）

（☆）（★）より、ｙとｚをｘであらわせたので、つなげてみましょう。

x=-5(y-2)/4=-5(z-1)
もうちょっと整理すると、
x/5 =(y-2)/-4 =(z-1)/-3
となって、これは(0,2,1)を通り、方向ベクトルが(5,-4,-3)の
直線になることを示しています。


方程式が２つあるので、どれか一つの文字で表して、つなげてみるといいですね。
頑張ってください！！

No.3 回答者： oshiete_goo 回答日時： 2003/02/25 11:26

＃１さんの模範解答が出ていますので，他の方法を挙げてみます．

x-y+3z-1=0
x+2y-z-3=0

まず２平面の適当な共有点を探す．
ｚ＝０とおいてx-y-1=0,x+2y-3=0よりx＝5／3，y＝2／3
よって共有点の１つA(5/3,2/3,0)が見つかる．

[別解その１]同様にして他にあと１点を求めてその２点を通る直線が求める交線になる．

[別解その２]２平面の法線ベクトル→a＝(1,-1,3),→b＝(1,2,-1)の両方に直交するベクトルの１つを外積の利用[→a×→b＝(-5,4,3)に平行なもの]　or →n＝(p,q,r)　とおいて内積０で比を決めると，→n＝(5,-4,-3)ととれて，これは２平面に平行なので交線の方向ベクトルの１つである．
よって，共有点Aを通り，→nを方向ベクトルとする直線を求める．

No.1 回答者： Mell-Lily 回答日時： 2003/02/25 07:18

交線とは、二つの平面の共通部分です。

したがって、連立方程式
　x-y+3z-1=0
　x+2y-z-3=0
が、交線の方程式になります。これを、一般的な直線の方程式に直すには、例えば、xを消去してzについて解き、また、yを消去してzについて解き、z=f(x)=g(y)とすればいいわけです。