3つの平面が交わる(または交わらない)条件について

三つの平面 2x + 3y - z = 6、 x - 3y + 2z = 5、 4x - 3y + pz = q について

1) 共通点を持たない
2) 一点だけ共通点を持つ
3) 共通の直線を持つ

この条件を満たすp、q の値を求めよ。

という問題なのですが、全く歯が立ちません。数学はあまり得意ではないので、出来るだけ詳しく説明して頂けると助かります。よろしくお願いします。

質問者からの補足コメント

• まだ行列式は習っていないので、行列式を使わない解き方を教えて頂けると助かります。注文が多くてすみません。

    補足日時：2016/10/08 23:50

No.2 ベストアンサー 回答者： tknakamuri 回答日時： 2016/10/09 04:24

では、線形代数の知識なしで行きます。

2x + 3y - z = 6　①
x - 3y + 2z = 5 　②
4x - 3y + pz = q　③

とすると、①＋②　は
3x +z =11　④
①＋③は
6x + (p-1)z=6+q ⑤

⑤ - 2 x ④ は

(p-3)z=6+q-22=q-16

なので、x, y, z が一組の解を持つ、つまり 条件(2)は
p≠3

p=3 の場合、q-16≠0 では方程式は解を持たないので
(1)は p=3, q≠16

p=3 で、q-16=0 では、③=2x②+① なので
x, y, z が①、②を満たせば ③も満たします。
従って、解は面 ①, ② が交わる直線になります。

これが条件(3) です。
p=3 、q=16

①+②は
3x +z =11
x = (-z+11)/3
2 x ② - ① は
-9y+5z=4
y =(5z-4)/9

従って z = t とすると、座標は t を媒介変数として

(-t/3+11/3, (5/9)t-4/9, t)
=(11/3、-4/9, 0) + (-1/3, 5/9, 1)t

となるので、(11/3、-4/9, 0) を通り、方向(-1/3, 5/9, 1)
の直線になります。

この回答へのお礼

再度、線形代数なしで解答を書いていただき、ありがとうございます！！

お礼日時：2016/10/09 06:15

No.1 回答者： tknakamuri 回答日時： 2016/10/08 23:11

2) が成立する条件は、行列

2 3 -1
1 -3 2
4 -3 p

が正則だから、行列式 ≠ 0

-6p +3 + 24 -12 +12 -3p ≠ 0 → -9p + 27 ≠ 0 → p ≠ 3

1) が成立する必要条件は p=3 だから

このとき、(2, 3, -1) + 2(1. -3, 2) = (4, -3, 3) なので
6+ 2・5 ≠ q が共通点のない条件は q ≠ 16

以上から(1) は p=3 かつ q ≠ 16

(3) は p=3 で q=16 なら 4x - 3y + pz = q は他の式の交線を含むので
直線で交わる。従って、p=3 で q=16

この回答へのお礼

詳しい解答ありがとうございました。

お礼日時：2016/10/09 03:05