x^2 + y^2 = 4 の条件下で f(x,y) = x + 2y の極値を求める。

y^2 = 4 - x^2

なので f(x,y) は x の1変数関数となるからこれを改めて

　　h(x) = x + 2(4-x^2) = -2x^2 + x + 8

とすると

　　h'(x) = -4x + 1 = 0. x = 1/4
　　h''(x) = -4 < 0.

　したがって h(x) は x = 1/4 で極大値 -2(1/4)^2 + 1/4 + 8 = 65/8 を持つ。
　よって x^2 + y^2 = 4 の条件下で f(x,y) = x + 2y の極大値は 65/8 である。

　この考え方がおかしいのはなぜですか？

解答は、極大値が 2√5、極小値は -2√5 となるそうです。

No.1 ベストアンサー 回答者： mtrajcp 回答日時： 2021/08/17 10:41

y^2=4-x^2

f(x,y)=x+2y
だから
h(x)=x+2(4-x^2)は間違い

y=√(4-x^2)
x+2y=x+2√(4-x^2)
だから
h(x)=x+2√(4-x^2)

No.3 回答者： tknakamuri 回答日時： 2021/08/17 10:53

>h(x) = x + 2(4-x^2)

誤り
h(x) = x ± 2√(4-x^2)
dh(x)/dx = 1 ± (2x)/√(4-x^2)=0

これでも解けるが、x+2y=C が x軸の Cで交わる傾き -(1/2)
の直線であることを考えると、直線が円と接するところで
Cが極大、極小になるので
極大/極小 = ±√(2^2+(2/(1/2))^2 = ±2√5
＃図を描けば簡単にわかります。

No.2 回答者： mtrajcp 回答日時： 2021/08/17 10:50

y^2=4-x^2

f(x,y)=x+2y
だから
h(x)=x+2(4-x^2)は間違い

y=±√(4-x^2)
x+2y=x±2√(4-x^2)
だから
h(x)=x±2√(4-x^2)