Aはｎ次正方行列とする。零行列ではない行列Bが存在して、AB＝0またはBA＝0が成立するという。この

Aはｎ次正方行列とする。零行列ではない行列Bが存在して、AB＝0またはBA＝0が成立するという。このとき、Aは正則行列出ないことを示せ。

教えてください、お願いします

No.4 回答者： springside 回答日時： 2019/05/20 21:29

もしAが正則行列だと仮定すると、AB=0に左からAの逆行列であるA^(-1)を掛けるとB=0となり、矛盾。

また、BA=0に右からAの逆行列であるA^(-1)を掛けるとB=0となり、矛盾。
いずれにせよ矛盾が生じるので、Aが正則行列と仮定したことが誤りであり、したがって、Aは正則行列ではない（背理法）。

No.3 回答者： tknakamuri 回答日時： 2019/05/14 00:06

条件は

①Ab=零列ベクトル
となる零ベクトルではない列ベクトルbが存在
②cA=零行ベクトル
となる零ベクトルではない行べクトルcが存在



①に左から、②に右からAの逆行列を掛けると

③b=A零列ベクトル
④c=零行ベクトルA

これは有り得ないので、Aの逆行列は無い。

No.2 回答者： ありものがたり 回答日時： 2019/05/13 00:30

「正則」には、同値だが文言の異なる定義がいろいろ存在するから、

証明の具体的な形は、どの定義へ帰着させるか次第ですね。

(正則 ⇔ 逆行列が存在) なら、No.1 のようになります。

私は、(正則 ⇔ 可逆な一次変換の表現行列) という定義に則ってみましょう。
AB = O のほうをやってみると...
B が逆行列でないので、B の列の中に零ベクトルでない列があります。
それを b とすると、Ab = 0, b≠0 です。
Ab = A0 なので、これは A が正則であることに反しています。
BA = 0 も、行ベクトルの写像 y^T = x^T A を考えるだけで、同様です。

No.1 回答者： mtrajcp 回答日時： 2019/05/12 22:03

Aはn次正方行列とする.

行列B≠0が存在して、
AB=0またはBA=0が成立する
Aが正則行列であると仮定すると
Aの逆行列
A^(-1)
が存在するから
AB=0
の時
両辺の左からA^(-1)をかけると
A^(-1)AB=0
B=0
となってB≠0に矛盾するから
BA=0
両辺の右からA^(-1)をかけると
BAA^(-1)=0
B=0
となってB≠0に矛盾するから
∴
Aは正則でない