高校数学、軌跡

（問題）
座標平面上に２点A(2,0)B(-2,0)がある。点Pが、∠APB＝３０°を満たしながら動くとき、点Pの軌跡の方程式を求めよ。

（私の解答）
A(2,0)B(-2,0)
P(x,y)とおく。
∠APB=３０°⇔P≠A,Bかつ（ベクトルPA内積ベクトルPB）/（｜ベクトルPA｜｜ベクトルAB｜）＝√３/2①
①∴（ベクトルPA内積ベクトルPB）＾２＝3/4｜ベクトルPA｜^2｜ベクトルAB｜^2
∴｛（ｘ－２）（ｘ＋２）＋ｙ＾２｝＾２＝3/4{(x-2)^2+y^2}{(x+2)^2+y^2}
∴1/4（ｘ＾２－４）＾２＋1/4ｙ＾４＋２（ｘ＾２－４）ｙ＾２－3/4ｙ＾２（２ｘ＾２＋８）＝０
（ｘ＾２－４）＾２＋ｙ＾４＋２ｘ＾２ｙ＾２－５６ｙ＾２＝０
ここまで計算したのですが、円の式にたどり着きません。
どう式変形をしていくのでしょうか？
参考書では計算を端折っていて結果のみ書かれています。どなたか教えてください。お願いします。

No.4 回答者： tknakamuri 回答日時： 2016/10/08 04:46

ANO１です。

ベクトルで強引にやってみました。

条件からは

{(x-2)(x+2) + y^2}/{√((x-2)^2+y^2))√((x+2)^2+y^2))}=√(3)/2

で、両辺2乗して整理すると

(x^2+y^2)^2 - 8x^2-56y^2+16=0
は
{x^2+(y-2√(3))^2-16}{x^2+(y+2√(3))^2-16}=0

と一致するので、2個の円のどちらかの点になります。

ここで、2乗したときに

(x-2)(x+2) + y^2 >0

という条件が落ちていることを考慮すると、
y=0 付近では x が -2～2 の値をとれないことが
おそらく証明できて、2つの円の重なり部分の円周が
除外できると思います。

No.3 回答者： syotao 回答日時： 2016/10/07 18:40

問題の場合、Ｐがｘ軸上の上にあるか下にあるかで、2つの軌跡のの曲線が考えられるので、

主さんが出した式
x^4 + 2x^2 y^2 + y^4 - 8x^2 - 56y^2 + 16 = 0　　(ただしさらにかっこをはずしてます)
に、2つの軌跡のの曲線がかくれていると考えます。そのために上式の左辺がｘ、ｙの２次式の積に
分解できないか考えるわけです。その方法としてｘかｙの次数の高い順に式を整理する法があります。
いまｘの次数の高い順に整理すると
上式の左辺＝ｘ4＋2(y2－4)ｘ2＋ｙ4－56ｙ2＋16となりＸ＝ｘ2とおけば
　　　　　＝Ｘ2＋2(y2－4)Ｘ＋ｙ4－56ｙ2＋16、これをＸの２次関数とみて標準形になおすと
　　　　　＝(X＋y2－4)2－48y2で、再びＸ＝ｘ2より式は＝(ｘ2＋y2－4)2－48y2
　　　　　=(ｘ2＋y2－4)2－(4√3y)2=(ｘ2＋y2+4√3y－4)(ｘ2＋y2－4√3y－4)となって、
主さんの出した式は、ｘ2＋y2+4√3y－4＝0、とｘ2＋y2－4√3y－4＝0という2つの円を表わしています。

No.2 回答者： yhr2 回答日時： 2016/10/07 10:33

なるほど、#1さんのように「円周角の定理」を使うのが、最も直感的でスマートですね。

ABから見て、「中心角」が60° になる点を中心とする円弧上の点は、ABから見て円周角が30° になる。

（１）これを「式」で求めるには、質問者さんのようにベクトルでやる方法と、「余弦定理」を使うやり方がありそうです。

　ベクトルを使うのであれば
　　→AP = (x-2, y)
　　→BP = (x+2, y)
として、内積を
　　(→AP)･(→BP) = |→AP|･|→BP|cos(30°)
　　　　　　　　　= √[ (x - 2)^2 + y^2 ] * √[ (x + 2)^2 + y^2 ] * (√3 /2)
と、内積の成分表示
　　(→AP)･(→BP) = (x - 2)(x + 2) + y^2
を等しいとおいて、質問者さんのように解いて行くのでしょう。

　余弦定理を使えば
　　AB^2 = AP^2 + BP^2 - 2AP*BP*cos(30°)
で、AB=4 なので
　　16 = AP^2 + BP^2 - √3 AP*BP
です。
　ここに
　　AP^2 = (x - 2)^2 + y^2
　　BP^2 = (x + 2)^2 + y^2
を代入すると
　　16 = (x - 2)^2 + y^2 + (x + 2)^2 + y^2 - √{ 3[ (x - 2)^2 + y^2 ][ (x + 2)^2 + y^2 ] }
　　　 = x^2 - 4x + 4 + y^2 + x^2 + 4x + 4 - √{ 3[ (x - 2)^2 + y^2 ][ (x + 2)^2 + y^2 ] }
　　　 = 2x^2 + 2y^2 + 8 - √{ 3[ (x - 2)^2 + y^2 ][ (x + 2)^2 + y^2 ] }

　これで、多分同じ式になったと思います。

　このままでは整理できないので、平方根を一方に寄せて二乗してみます。
　　√{ 3[ (x - 2)^2 + y^2 ][ (x + 2)^2 + y^2 ] } = 2x^2 + 2y^2 - 8
両辺を二乗して
　　3[ (x - 2)^2 + y^2 ][ (x + 2)^2 + y^2 ] = 4x^4 + 8x^2 y^2 + 4y^2 - 32x^2 - 32y^2 + 64

　左辺は
　　3[ (x - 2)^2 + y^2 ][ (x + 2)^2 + y^2 ]
　= 3{ (x - 2)^2 (x + 2)^2 + [ (x - 2)^2 + (x + 2)^2 ]y^2 + y^4 }
　= 3{ x^4 - 8x^2 + 16 + 2x^2 y^2 + 8y^2 + y^4 }
なので、整理すると
　　x^4 + 2x^2 y^2 + y^4 - 8x^2 - 56y^2 + 16 = 0　　　　①

※質問者さんも、ここまでは来ていますよね。

　これが求める曲線の式ですが、ちょっとアンバランスなので
　　x^4 + 2x^2 y^2 + y^4 - 8x^2 - 8y^2 + 16 = 48y^2
と書くと、左辺は
　　(x^2 + y^2 - 4)^2
になるので
　　x^2 + y^2 - 4 = ± 4√3 y
あるいは

　　x^2 + (y ± 2√3)^2 = 4^2

とすれば分かりやすそうです。

　質問者さんも、途中で挫折せずにゴリゴリとやれば、ここまでもう一息だったと思います。

No.1 回答者： tknakamuri 回答日時： 2016/10/07 08:07

ベクトルで正攻法でやるとややこしそう。

円周角の定理を使うと、円とその中心位置が一目瞭然に求まるから

y≧0 では中心が (0, 2√(3)), 半径4の円
y≦0 では中心が (0, -2√(3)), 半径4の円

なので、方程式は

y≧0 では x^2 + (y-2√(3)^2=16
y≦0 では x^2 + (y+2√(3)^2=16

ですね。