行列の問題です

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質問者：onbgrs
質問日時：2011/05/28 21:04
回答数：3件

直線L：ax+by=0((a,b)≠(0,0))のとき
(1)Lについての対称移動を表す行列
(2)Lへの正射影を表す行列

解いていただけるとありがたいです

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回答 (3件)

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No.3ベストアンサー

回答者： noname#154783
回答日時：2011/05/29 01:53

(2)を先に解いたほうが楽だと思います．

以下
t(x, y)
は行ベクトル(x, y)を転置した列ベクトルを表すものとします．

(2)
直線Lの方向ベクトルは
k = t(b, -a) (≠ t(0, 0)).

したがって，任意のベクトルr = t(x, y)の，k方向への正射影（すなわち直線Lへの正射影）r' = t(x', y')は次のように表される：

r'
= k(k・r)/|k|^2
= t(b, -a) (bx - ay)/(a^2 + b^2)
= t(b^2 x - aby, -abx + a^2 y)/(a^2 + b^2)
= {1/(a^2 + b^2)} (b^2, -ab; -ab, a^2) r.

すなわち，求める行列（Pという名前を付けます）は
P = {1/(a^2 + b^2)} (b^2, -ab; -ab, a^2).

# すっげー見にくいと思いますので，添付図を付けます．

(1)
r = t(x, y) をLに関して対称移動したベクトルを r" = t(x", y") とすると，

r" = r + 2(r' - r) = 2r' - r = 2Pr - r = (2P - I)r.

# Iは2×2単位行列．添付図参照．

すなわち，求める行列（Rという名前を付けます）は
R = (2P - I) = {1/(a^2 + b^2)} (b^2 - a^2, -2ab; -2ab, a^2 - b^2).

# これもすっげー見にくいと思いますので，添付図を付けます．