2点を通り、平面1に垂直な平面2の求め方

A=(2,1,-1),B=(3,2,1)を通り,平面4x-y-z+2=0に垂直な平面のとき方を教えてください

No.2 ベストアンサー 回答者： info22_ 回答日時： 2013/07/31 06:26

ベクトルABをAB↑と書き、

点A,点Bの位置ベクトルをそれぞれA↑,B↑と書くことにします。
A↑,B↑は成分表示は座標と同じになります。

A,Bを通る直線の方向ベクトルAB↑は
AB↑=B↑-A↑=(3,2,1)-(2,1,-1)=(3-2,2-1,1-(-1))=(1,1,2) ...(1)

平面4x-y-z+2=0　...(2)
の法線の方向ベクトルC↑は
C↑=(4,-1,-1) ...(3)

従って2点A,Bを通り平面(1)に垂直な平面上の任意点P(x,y,z)は媒介変数s,tを使って
P↑=(x,y,z)
=A↑+sAB↑+tC↑=(2,1,-1)+s(1,1,2)+t(4,-1,-1)
=(2+s+4,1+s-t,-1+2s-t)　...(4)
と表すことができます。
(4)は2点A,Bを通り平面(1)に垂直な平面の媒介変数表示になります。
点P(x,y,z)のx,y,zは
x=2+s+4t ...(5-1), y=1+s-t ...(5-2), z=-1+2s-t ...(5-3)
となります。
これから媒介変数s,tを消去すればs,tを使わない平面の方程式が得られます。
(5-2)-(5-3)から
　y-z=2-s → s=2-y+z ...(6)
(6)を(5-2)に代入して
　t=1+s-y=3-2y+z ...(7)
(6),(7)を(5-1)に代入すれば
　x=4-y+z+12-8y+4z=16-9y+5z
移項して
　x+9y-5z-16=0 ...（答え）

この回答へのお礼

回答ありがとうございます

A,Bをとおり、平面1に垂直だから法線ベクトルは平面2上にあるからAb↑
とc↑でパラメータ表示にしたという解釈でよろしいでしょうか

詳しく書いていただきわかりやすかったです

ありがとうございました

お礼日時：2013/07/31 08:49

No.4 回答者： noname#182106 回答日時： 2013/07/31 15:53

訂正

2元1次式→3元1次式

No.3 回答者： noname#182106 回答日時： 2013/07/31 15:52

求める平面の法線ベクトルをm↑ とすると、

m↑は平面 4x-y-z+2=0 の法線の方向ベクトルn↑=(4,-1,-1) と
AB↑=(1,1,2) に垂直。

本来なら外積で m↑=n↑×AB↑=(-1,-9,5) とするのですが、
高校数学では外積は禁じ手なので、
m↑=(s,t,u) として垂直条件　m↑・n↑=0, m↑・AB↑=0 を解きます。

連立方程式 4s-t-u=0 かつ s+t+2u=0 は
2元1次式で式が2個、つまり比例式なので t=9s, u=-5s となります。

ただ、s≠0（s=0 のとき t=u=0 となり、m↑≠0↑に矛盾）を確認しておけば、
初めから m↑=(1,t,u) として解いて、m↑=(1,9,-5) で十分です。

つまり、法線ベクトル m↑=(1,9,-5) で点A(2,1,-1) を通る平面
(x-2)+9(y-1)-5(z+1)=0
x+9y-5z-16=0
が求める平面です。

この回答へのお礼

丁寧に、書いてくださりありがとうございました。

わかりやすかったです.

お礼日時：2013/08/18 19:09

No.1 回答者： noname#182106 回答日時： 2013/07/31 06:08

平面4x-y-z+2=0 の法線ベクトル(4,-1,-1)と

ベクトルAB=(1,1,2) の両方に垂直なベクトルが

求める平面の法線ベクトル

この回答へのお礼

外積を使って平面の公式に代入するということでいいんでしょうか

なんとなく、感覚がつかめたと思います

ありがとうございました

お礼日時：2013/07/31 08:39