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意識的にしろ、無意識的にしろ、内積や外積が考えられたのには、何かしらの背景があると思うのですが、歴史的に見て、また、その当時の社会的背景などをかんがみて、これらの概念はどのように生まれたのでしょうか?

私は大学1年生なので、かっちりした数学を学習しておらず、厳密な定義などを言われても分からないのですが、こんな感じで生まれた、または、こんな疑問からの発想で生まれたんじゃないかな、というような意見を教えていただければと思います。もちろん、歴史を絡めていただけると、なおありがたいです。

よく、内積は物理の仕事から、外積は物理の力のモーメントからなどと言われていますが、なんだか納得できません。
線形空間などに計量できるように内積を導入するなどと見ましたが、どういう意味か全くわかりません。だれか教えてくれませんか?
また、内積や外積はベクトルについて考えていれば自然に考えが生まれるなど、詳細を書かずに一般論を言われている方もいましたが、一体その「自然」とは?
確かに自然数について考えて入れば加法や減法といった演算は自然に考え付くのかなと想像はできますが、それは自然数というものを人間が直感によって理解しやすいものだからなのではないでしょうか?ベクトルへの人間の理解とは全く程度が異なるような感じがして、なんだかこの手の回答は理解できませんでした。


どこが自然なのか?何を考えて内積や外積に気がついたのか?
なにか知っていましたら教えていただければと思います。
また、内積や外積について、そのように定めたことによって得られたものなどを、内積という概念が導入された経緯とともに教えていただければとても助かります。


※現代において厳密に整備された概念や、内積をもとにして生み出された概念、また公理的な概念による説明などはこの質問の意図するところではありません。自然数とは何かと聞かれて、ペアノの公理を説明するような回答は望んではいないということです。あくまで「直感」的な立場の回答をお願いいたします。また、簡単に思いつくような、検索欄に「内積 歴史」などによって調べて出てきた日本語でのネット上のページや、知恵袋、okwaveといった質問投稿サイトでの同様の質問はいろいろと見てみましたし、大学の図書館で言及しているものがないかをパラパラと調べてみましたが、結局知りたい情報はありませでした。(英語のサイトは、英語があまり得意ではなく、挫折してしまったので、そちらの情報などで役に立つものがあるのかもしれませんけれども・・・)
どなたか内積の歴史などについて言及している本をご存じではありませんか?
知っていましたら是非教えてください。


回答、よろしくお願いいたします。
皆さまの回答、お待ちしております。

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A 回答 (3件)

内積や外積、ベクトルの起源は、ハミルトンの四元数です。

四元数の純虚数空間の数をベクトルと呼びます。
ベクトルの積を求めます。
z=bi+cj+dk
w=qi+rj+sk
とすると、
z*w
=(-bq-cr-ds)
+(cs-dr)i
+(-bs+dq)j
+(br-cq)k
となります。
このz*wの実数部分が内積のマイナス1倍であり、虚数部分が外積になっているのがわかります。このため、四元数の積を簡単に表すために内積や外積が生まれました。
ベクトルについては今使われる意味に変わっていきましたが、そこでも内積や外積は特に物理を通じて役立つものだったため四元数の概念が衰退した後も定着していくことになります(四元数自体もかなり復権していますが)。
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この回答へのお礼

四元数に関係があるということですね。
四元数はグラフィクス分野などに応用されているようですし、これを機に学んでみようかと思います。

回答ありがとうございました。

お礼日時:2013/04/29 11:49

内積はn次元までやりますが外積は3次元しかやりません。


どうしてだかわかりません。定義できないのか?
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この回答へのお礼

質問に質問で返されても困ります。

回答ありがとうございました。

お礼日時:2013/04/29 11:46

電流×磁場=力



参考URL:http://www.ravco.jp/cat/view.php?cat_id=5607
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この回答へのお礼

外積のほうはローレンツ力と関係があるということでしょうか?
リンク見てみますね。

回答ありがとうございました。

お礼日時:2013/04/29 11:47

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