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教科書の練習問題ですが、以下のような式のときはどのように平面の方程式を求めたらいいのか教えてください。

次の2直線を含む平面の方程式は?

x-1    y+2    z+3
---  =  ---  =  ---
 3     4     -5

x+1    y     z-1
---  =  ---  =  ---
 3     4     -5


この二つの方程式の方向ベクトルは(3.4.-5)であるのですが、それと解法とはかんけいがあるのでしょうか?
とき方を教えてください。

答えは、13x - y + 7z=-6  となります。

教えて!goo グレード

A 回答 (4件)

asa_dさん、こんにちは。


みなさん、とてもいい回答が出ているのですが・・

>次の2直線を含む平面の方程式は?

x-1    y+2    z+3
---  =  ---  =  ---
 3     4     -5

x+1    y     z-1
---  =  ---  =  ---
 3     4     -5

今、求める平面の方程式を、
ax+by+cz+d=0
とおくことにします。
この平面の、法線ベクトル(平面に垂直なベクトル)は(a,b,c)ですね。

さて、二つの直線の方向ベクトル(3,4,-5)は、この平面上にありますから、
上の(a,b,c)とは垂直なはずですね。
したがって、内積をとれば、
3a+4b-5c=0・・・・(☆)

また、直線の方程式を見てみれば、
上の直線には、点(1,-2,-3)が
下の直線には、点(-1,0,1)が含まれていることが分かると思います。

さて、ここで、これらの2点を結ぶ直線も、平面上にあることに着目しましょう。
これらの2点を結んで出来るベクトルは(2,-2,-4)
つまり、その直線は、方向ベクトルが(1,-1,-2)であることがいえます。
この方向ベクトルと、(a,b,c)もまた、垂直ですから、内積をとれば
a-b-2c=0・・・・・(★)

(☆)と(★)から、a,bをcだけで表すと、
a=13/7c,b=-1/7c となります。
したがって、ベクトル(a,b,c)=(13/7c,-1/7c/c)
(13,1,7)がこの平面の法線ベクトルになることがいえました。
ここで、点(-1,0,1)は、この平面上にありましたから、
13x+y-7z+d=0に、x=-1、y=0、z=1を代入すれば、d=6
したがって、平面の方程式が13x - y + 7z=-6 だと求まりました。

ご参考になればうれしいです。
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【問題】


次の二つの直線を含む平面の方程式を求めよ。
 (x-1)/3=(y+2)/4=(z+3)/(-5)
 (x+1)/3=y/4=(z-1)/(-5)

【解答】
求めるべき平面は、二つの直線の方向ベクトル
 (3,4,-5)
を含む。また、二つの直線は、それぞれ、
 P(1,-2,-3), Q(-1,0,1)
を通るので、求めるべき平面は、→PQを含む。
 →PQ=→OQ-→OP
 =(-1,0,1)-(1,-2,-3)
 =(-2,2-,4)
 =2(-1,1,2)
ゆえに、求めるべき平面は、
 (x,y,z)=s(3,4,-5)+t(-1,1,2)+(1,-2,-3)
と表される。
 x=3s-t+1 …(1)
 y=4s+t-2 …(2)
 z=-5s+2t-3 …(3)
(1)+(2)より、
 x+y=7s-1 …(4)
(2)×2-(3)より、
 2y-z=13s-1 …(5)
(4)×13-(5)×7より、
 13x-y+7z=-6 …(Ans.)
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まず、平面の法線ベクトルを求めます。


そのためには、その平面に含まれる(=その平面と平行な)ベクトルを2つ見つければOKです。
今、2直線の方向ベクトルは平面に含まれているはずなので、とりあえず(3,4,-5)はすぐに見つかりました。もう一つ必要ですが、2直線のそれぞれの上にある点(1,-2,-3)と点(-1,0,1)を結んだベクトル(2,-2,-4)も求めたい平面に含まれているはずです。
よって、2つのベクトル(3,4,-5)と(2,-2,-4)の双方に直交するベクトルを求めれば、それが平面の法線ベクトルとなります。これを求めると、(13,-1,7)となりますので、あとは、求めたい平面上にあるはずの点(1,-2,-3)から、平面の方程式は、13(x-1)-(y+2)+7(z+3)=0となり、変形すれば、13x-y+7z=-6となります。
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解答はいくつかの方法があります。

似たりよったりですけどね。

まず2直線は平行だから両方の直線を含む平面が存在するわけです。

解答1
通る点を3つ決めます。同じ直線から3つ選ばないように、両方から
選びましょう。例えば
(1,-2,-3),(4,2,-8),(-1,0,1)
これを平面の式
ax+by+c+d=0
に代入してa,b,c,d関係式を作って、a,b,c,dの比を求めます。
もう少し要領よくやるなら、
a(x-1)+b(y+2)+c(z+3)=0 (これは(1,-2,-3)を通ります。)
と置くと1文字少なくてすみます。(後2つ代入してみればよい)

解答2
2つの点を取ります。
もう1つの式は方向ベクトル(3,4,-5)と平面の法線ベクトル(a,b,c)
が垂直だから
3a+4b-5c=0
これで解答1と同じになります。

以下、途中の計算は省略しますが、もし分からなければもう一度
書き込んでください。
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