円に直線を引いて、円の内部の分割数が最多になるようにする。

円に直線を引いて、円の内部の分割数が最多になるようにする。
ｎ本の直線が引かれた時、いくつに分割されるか。
という問題です。

ｎが２の時は４
ｎが３の時は７　　という所までは手操作で分かったのですが、数学的根拠及び考え方が分かりません。
（n-1）に影響される漸化式(?)なのかな、とは思うのですが。

中学生レベルで考えれば解ける、　と言われたのですが・・・。

No.1 ベストアンサー 回答者： Rice-Etude 回答日時： 2010/06/22 22:38

puyo1729さんの少し前の質問（参考URLのところ）で、ほぼ同じ意味の質問がありますよ。

参考URL：http://oshiete.goo.ne.jp/qa/5987460.html

この回答へのお礼

なるほど。ありがとうございました。
最初、せっかく教えていただいたのに、似た問題だということすら理解できませんでしたが。（汗）


An：ｎ本の直線で分ける最大の領域数　　とすると

An＝An-1 + ｎ 　ということでよろしいでしょうか。
さらに一般式になるなんていう虫のいい話はないですかね。自分でもちょっくらいじってみますが。

お礼日時：2010/06/22 23:33

No.3 回答者： Rice-Etude 回答日時： 2010/06/23 11:30

No.1です。

漸化式は合ってます。

せっかく自分でいじってみるとおっしゃっているので、ここはヒントだけ。

「手作業で、10項くらいまで書いてみましょう」
「隣同士の項の数字を使って、いろんな計算してみましょう」

No.2 回答者： Tacosan 回答日時： 2010/06/23 11:27

あっちは平面でこっちは円の内部ですが, 「直線の全ての交点が内部に含まれる」ような「極端に半径の大きな円」を想定すれば同じことですね.

あとは初項と漸化式があるので n の式に落とせば終了. n(n+1)/2+1 かな?