No.2ベストアンサー
- 回答日時:
No.1です。
条件bですが、
b)2本の直線も平行でない
は、正しくは
b)「どの」2本の直線も平行でない「(すなわち、任意の直線は、自分以外の直線と必ず交点を持つ)」
ですね。訂正します。
それから、お褒めの言葉をいただき恐縮です。私も分からないことだらけで、今も勉強中です。luutさんから見ればおじさん(下手すればお父さんくらいの年齢?(汗))ですが、それでもよければ、ぜひ...
この回答への補足
大人になっても勉強しているなんてすごいですね。僕の親とは大違いです。
友達に年齢なんて関係ありません!!(臭いセリフですね・・)
ということで、これからよろしく御願いします。
No.1
- 回答日時:
厳密な論理ではないですが...
問題文から平面上にある任意のn本の直線について
a)どの3本の直線も1点を共有しない (すなわち、すべての交点は2本の直線からのみ)
b)2本の直線も平行でない
という条件になっています。
この条件を満たしながら、n本の直線が引かれているところに新たに直線を引いたとします。すると、新しく引いた直線上に、それまでに引かれているn本の直線とで新たなn個の交点ができます。この交点を、新たな直線上で並んでいる順にP(1),P(2),…,P(n)と置きます。
P(1)とP(2)の間には、直線が引かれるまで1つの領域がありましたが、この2点を結ぶことでその領域は二つに分割されます。つまり直線P(1)-P(2)により領域が1つ増えます。
P(2)とP(3)の間にも、直線が引かれるまで1つの領域がありましたが、この2点を結ぶことでその領域は二つに分割されます。つまり直線P(2)-P(3)により領域がさらに1つ増えます。
…
P(n-1)とP(n)の間にも、直線が引かれるまで1つの領域がありましたが、この2点を結ぶことでその領域は二つに分割されます。つまり直線P(n-1)-P(n)により領域がさらに1つ増えます。
このように、2点を結ぶことで1つずつ領域が増えていきます。結ぶことができる2点は
P(1)-P(2),P(2)-P(3),…,P(n-1)-P(n)
とn-1通りあるので、まずP(1)からP(n)までの間で領域がn-1増えます。
またP(1)の外側を、新しい直線のうちP(1)から見てP(2)がない方と便宜上定義します。P(1)の外側もやはり一つの領域がありましたが、その外側に伸びる直線によりその領域は分割されます。つまり、P(1)の外側に伸びる直線により領域が一つ増えます。
同様に、P(n)の外側を、新しい直線のうちP(n)から見てP(n-1)がない方と便宜上定義します。P(n)の外側もやはり一つの領域がありましたが、その外側に伸びる直線によりその領域は分割されます。つまり、P(n)の外側に伸びる直線により領域が一つ増えます。
つまり、新しい直線により、
α)新たな交点P(1),…,P(n)のうち、隣り合っている2点間P(k)-P(k-1)(但しkは2以上n以下)によりできた領域 n-1個
β)P(1)の外側にできた領域1個
γ)P(n)の外側にできた領域1個
の合計であるn+1個の領域の増加となります。
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