No.2ベストアンサー
- 回答日時:
座標空間において、3点A(0,-1,2),B(-1,0,5),C(1,1,3)の定める平面をαとし、原点Oからの平面αに
>垂線OHを下ろす。
平面αの方程式をax+by+cz+d=0とおく。
Aを通るから、-b+2c+d=0
Bを通るから、-a+5c+d=0
Cを通るから、a+b+3c+d=0
a,b,cをdで表すと、
a=(-1/2)d,b=(2/5)d,c=(-3/10)d
よって、平面の法線ベクトルは、n=(-1/2,2/5,-3/10)
OHベクトルは、nに平行だから、OH=knとおくと、
OH=((-1/2)k,(2/5)k,(-3/10)k)
>(1)AH↑=sAB↑+tAC↑を満たすs,tを求めよ。
AH=((-1/2)k,(2/5)k+1,(-3/10)k-2)
AB=(-1,1,3),AC=(1,2,1)と与式より、
(-1/2)k=-s+t,
(2/5)k+1=s+2t,
(-3/10)k-2=3s+t を連立方程式で解いて、s=-(3/5),t=2/5
>(2)点Hの座標を求めよ。
(1)の連立方程式から、k=-2 OHの式へ代入して、
OH=(1,-4/5,3/5)
>(3)四面体OABCの体積を求めよ。
AB^2=(-1)^2+1^2+3^2=11 |AB|=ルート11
同じく|AC|=ルート6
BC=(2,1,-2)より、|BC|=3
余弦定理より、cosA=4/ルート66から、sinA=5/ルート33
△ABC=(1/2)×ルート11×ルート6×(5/ルート33)=5ルート2/2
|OH|=ルート2
四面体の体積は、(1/3)×(5ルート2/2)×ルート2=5/3
でどうでしょうか?
No.3
- 回答日時:
なんちゃって計算法:
とりあえず、外積 (→n) = (→AB)×(→AC)
を計算する。
この →n が α の法線ベクトルになる。
(2)
(→OH) = r(→n) と置いて、これを α の方程式
(→n)・(座標) = (→n)・(→OA) に代入すると、
r の値が決まって、H の座標が判る。
(1)
→OH が判ってしまえば、
(→AH) = s(→AB)+t(→AC) を成分ごとに見て、
s, t の連立一次方程式を解けばよい。
(3)
△ABCの面積は |→n| なので、
体積は (1/3)|→n||→OH|。
No.1
- 回答日時:
(1)ベクトルAB=(-1,1,3), ベクトルAC=(1,2,1)
ベクトルAH=(-s+t, s+2t, 3s+t )
ベクトルOH=ベクトルOA+ベクトルAH=(-s+t, s+2t-1, 3s+t+2 )・・・*
ベクトルOHとベクトルABの内積=0
ベクトルOHとベクトルACの内積=0
よりs , t の連立方程式をつくり,解け。
(2)*にs , t の値を代入すればよい。
(3)高さはOH
底面は△ABC 面積は(1/2)√{|AB|^2・|AC|^2-(ベクトルAB,ACの内積)^2} で計算。
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