No.2ベストアンサー
- 回答日時:
(2)の書き間違い修正:
Bの対角の1の数はrank(B)→B'の対角の1の数はrank(B)
(1)
Bの行ベクトルをb1,b2,…,bnとする。
ABの行ベクトルは全てこれらの行ベクトル族の一次結合なので
ABの独立な行ベクトルの数≦Bの独立な行ベクトルの数
であることがわかるので
rank(AB)≦rank(B)
特にAが正則のときrank(B)=rank(A^-1(AB))≦rank(AB)なので
rank(AB)=rank(B)
Aの列ベクトルをa1,a2,…,anとする。
ABの列ベクトルは全てこれらの列ベクトル族の一次結合なので
ABの独立な列ベクトルの数≦Aの独立な列ベクトルの数
であることがわかるので
rank(AB)≦rank(A)
特にBが正則のときrank(A)=rank((AB)B^-1)≦rank(AB)なので
rank(AB)=rank(A)
(2)
Bに行基本変形と列基本変形をそれぞれ繰り返し行い
対角に最初に1が並び後で0が並ぶの対角行列B'とする。
このときB'の対角の1の数はrank(B)である。
また適当なn次正則行列P,Qにより
B'=PBQ
とできる。
A'=AP^-1
とするとA'B'=ABQ=0なので
A'の最初のrank(B)列までの列ベクトルは全て0
よって
rank(A')≦n-rank(B)
しかるに(1)よりrank(A)=rank(A'P)=rank(A')なので
rank(A)≦n-rank(B)
No.1
- 回答日時:
(1)
Bの行ベクトルをb1,b2,…,bnとする。
ABの行ベクトルは全てこれらの行ベクトル族の一次結合なので
ABの独立な行ベクトルの数≦Bの独立な行ベクトルの数
であることがわかるので
rank(AB)≦rank(B)
Aの列ベクトルをa1,a2,…,anとする。
ABの列ベクトルは全てこれらの列ベクトル族の一次結合なので
ABの独立な列ベクトルの数≦Aの独立な列ベクトルの数
であることがわかるので
rank(AB)≦rank(A)
(2)
Bに行基本変形と列基本変形をそれぞれ繰り返し行い
対角に最初に1が並び後で0が並ぶの対角行列B'とする。
このときBの対角の1の数はrank(B)である。
また適当なn次正則行列P,Qにより
B'=PBQ
とできる。
A'=AP^-1
とするとA'B'=ABQ=0なので
A'の最初のrank(B)列までの列ベクトルは全て0
よって
rank(A')≦n-rank(B)
しかるに(1)よりrank(A)=rank(A'P)=rank(A')なので
rank(A)≦n-rank(B)
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