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- 回答日時:
rank AB ≠ rank BA となる例:
A =
1 -1
1 -1
B =
1 1
1 1
のとき、
AB =
0 0
0 0
BA =
2 -2
2 -2
だから、
rank AB = 0 ≠ 1 = rank BA。
後半の証明:
一般に rank XY ≦ rank X, rank XY ≦ rank Y であることから、
rank AB = rank(AB)^2 = rank (ABA)B ≦ rank A(BA) ≦ rank BA,
rank BA = rank(BA)^2 = rank (BAB)A ≦ rank B(AB) ≦ rank AB.
すなわち rank AB = rank BA。
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