ライニプッツの公式に関してです。 arctan(x)のn時導関数をもとめたいのですが、漸化式と初期条

ライニプッツの公式に関してです。
arctan(x)のn時導関数をもとめたいのですが、漸化式と初期条件を使って赤丸の式を出すところがわかりません。過程を教えてください。

質問者からの補足コメント

• arctan(x)のn次導関数にx＝0を代入した値を知りたいためにライニプッツの公式を使っています。
  （最終的にはこれを使ってarctan(x)のマクローリン展開をしたいので…）

    補足日時：2020/05/28 20:00

No.1 ベストアンサー 回答者： ありものがたり 回答日時： 2020/05/28 20:25

f^(2n)(0) については...

写真１行目の漸化式に n=2k+1 を代入して
f^(2k+2)(0) = -(2k+1)(2k) f^(2k)(0).
これと f’’(0) = 0 から
任意の自然数 n について f^(2n)(0) = 0 と判る。

f^(2n-1)(0) については...
写真１行目の漸化式に n=2k を代入して
f^(2k+1)(0) = -(2k)(2k-1) f^(2k-1)(0).
これと f’(0) = 1 から
f(2n-1) = -(2n-2)(2n-3) f^(2n-3)(0)
　　　　= { -(2n-2)(2n-3) }{ -(2n-4)(2n-5) } f^(2n-5)(0)
　　　　= { -(2n-2)(2n-3) }{ -(2n-4)(2n-5) }{ -(2n-6)(2n-7) } f^(2n-7)(0)
　　　　= …
　　　　= { -(2n-2)(2n-3) }{ -(2n-4)(2n-5) }…{ -2・1 } f^(1)(0)
　　　　= { (-1)^n }(2n-2)! ・ 1.
ここで「…」で誤魔化した部分については、
総積記号Πを使って数学的帰納法で書けば誤魔化しなしで書けるが、
かえって読みにくくなると思う。「…」で察して欲しい。

この回答へのお礼

すごく分かりやすかったです！ありがとうございました。ら

お礼日時：2020/05/29 03:15