No.4ベストアンサー
- 回答日時:
Ag-mp さんのご回答:
ミスタイプか,あるいはケアレスミスかと思いますが
(1) (d/dx) arctan(x) = 1/(1+x^2)
ですね.
ライプニッツの定理は,積の微分の一般公式で,
(2) (fg)^(n) = f^(n) g + C(n,1) f^(n-1) g^(1) + C(n,2) f^(n-2) g^(2)
+ ・・・+ f g^(n)
ですから,yumomonori さんのように f=arcsin(x)、g=1 とおいても
何も新しいことは出てきません.
なお,C(n,2) などは二項係数です.
(3) (d/dx) arcsin(x) = 1/√(1-x^2)
ですから,積の微分ではなくて,合成関数の微分と見なすべき問題です.
つまり,
(4) f(x) = 1/√(1-x) = (1-x)^(-1/2)
(5) g(x) = x^2
として
(6) h(x) = f(g(x))
の高階導関数を求める問題になります.
この種の問題はなかなか面倒で,
見通しよく扱うには Bell の多項式と呼ばれるものを使う方法が一般的ですが,
なかなかきれいな形にはまとめられないことがほとんどです.
質問の arcsin,arccos についてはたくさんの項の和,
という形にしかならないようです.
arctan については,岩波の数学公式集に
(7) (d/dx)^n arctan(x)
= (n-1)! {cos^n (arctan(x))} sin{n[arctan(x) + (π/2)]}
という恐ろしげな式が載っています.
どうやって導いたのか,すぐには見えません.
まあ,よくこんな式求めましたよね.
というわけで,簡単に求められる話ではありません.
(7)はこの式がわかっていれば,帰納法で証明できそうではあります.
なるほど、詳しい説明ありがとうございます。
ある問題を解こうとしてn回微分を使うのかなと思い、ここに質問したのですが、どうも、違うようですね。こんなに、n回微分がめんどうと言う話なら。
No.3
- 回答日時:
#1さんのご回答に一部タイプミスがあるようなので,補足すると
d(ArctanX)/dx=1/(1+X^2)
です.
また
(d^n/dx^n)ArctanX
=(n-1)!・cos^n(ArctanX)・sin(n・ArctanX+nπ/2)
です.
数学的帰納法等で証明するのは質問者さんの宿題ですね.
No.1
- 回答日時:
とりあえず1回微分だけでも…
(y=arcsinx)
darcsinx/dx=dy/dx=1/(dx/dy)=1/(dsiny/dy)
=1/cosy=1/√(1-x^2)
(cosy=±√(1-(siny)^2),-π/2≦y≦π/2→cosy≧0)
同じようにしてやると
arccosxの微分は-1/√(1-x^2)
arctanxの微分は1/(1-x^2)
ここまでだったら自信ありですがn回は分からないです。
でも出た数字をずっと微分していけば良いのでは?
でもそれだとn回にはならないですね…
う~ん…
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