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ArcsinX ArccosX ArctanX
のn回微分の求め方が分かりません。
どうか教えてください。

A 回答 (4件)

Ag-mp さんのご回答:


ミスタイプか,あるいはケアレスミスかと思いますが
(1)  (d/dx) arctan(x) = 1/(1+x^2)
ですね.

ライプニッツの定理は,積の微分の一般公式で,
(2)  (fg)^(n) = f^(n) g + C(n,1) f^(n-1) g^(1) + C(n,2) f^(n-2) g^(2)
         + ・・・+ f g^(n)
ですから,yumomonori さんのように f=arcsin(x)、g=1 とおいても
何も新しいことは出てきません.
なお,C(n,2) などは二項係数です.

(3)  (d/dx) arcsin(x) = 1/√(1-x^2)
ですから,積の微分ではなくて,合成関数の微分と見なすべき問題です.
つまり,
(4)  f(x) = 1/√(1-x) = (1-x)^(-1/2)
(5)  g(x) = x^2
として
(6)  h(x) = f(g(x))
の高階導関数を求める問題になります.

この種の問題はなかなか面倒で,
見通しよく扱うには Bell の多項式と呼ばれるものを使う方法が一般的ですが,
なかなかきれいな形にはまとめられないことがほとんどです.

質問の arcsin,arccos についてはたくさんの項の和,
という形にしかならないようです.

arctan については,岩波の数学公式集に
(7)  (d/dx)^n arctan(x)
    = (n-1)! {cos^n (arctan(x))} sin{n[arctan(x) + (π/2)]}
という恐ろしげな式が載っています.
どうやって導いたのか,すぐには見えません.
まあ,よくこんな式求めましたよね.

というわけで,簡単に求められる話ではありません.
(7)はこの式がわかっていれば,帰納法で証明できそうではあります.
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この回答へのお礼

なるほど、詳しい説明ありがとうございます。
ある問題を解こうとしてn回微分を使うのかなと思い、ここに質問したのですが、どうも、違うようですね。こんなに、n回微分がめんどうと言う話なら。

お礼日時:2003/06/02 02:56

#1さんのご回答に一部タイプミスがあるようなので,補足すると


d(ArctanX)/dx=1/(1+X^2)
です.

また
(d^n/dx^n)ArctanX
=(n-1)!・cos^n(ArctanX)・sin(n・ArctanX+nπ/2)
です.

数学的帰納法等で証明するのは質問者さんの宿題ですね.
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この回答へのお礼

どうもありがとうございます。
帰納法か~やってみるかな~

お礼日時:2003/06/02 02:38

回答にはなってないかもしれませんが・・・。

ライプニッツの定理でf=arcsinX、g=1として公式にあてはめてみるのはどうでしょうか。あとは帰納法を使うとか。もっとうまい方法があるかもしれませんが・・・。
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この回答へのお礼

ライプニッの定理は知らないんで、帰納法で試してみようかと思います。。。
う~んでも、いまいち解からない・・・

お礼日時:2003/06/02 01:48

とりあえず1回微分だけでも…



(y=arcsinx)
darcsinx/dx=dy/dx=1/(dx/dy)=1/(dsiny/dy)
=1/cosy=1/√(1-x^2)
(cosy=±√(1-(siny)^2),-π/2≦y≦π/2→cosy≧0)

同じようにしてやると
arccosxの微分は-1/√(1-x^2)
arctanxの微分は1/(1-x^2)

ここまでだったら自信ありですがn回は分からないです。
でも出た数字をずっと微分していけば良いのでは?
でもそれだとn回にはならないですね…
う~ん…
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この回答へのお礼

そうなんですよね。。。1回はできるんですよ、
でも、n回となると・・なにか公式めいたものがあるんでしょうかね。

お礼日時:2003/06/02 01:46

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