f(x)=(x^2)(e^2x)のn次導関数について求めて欲しいです。3回微分までしましたが、うまく

f(x)=(x^2)(e^2x)のn次導関数について求めて欲しいです。3回微分までしましたが、うまく法則を見分けられません。教えていただきたいです

No.4 回答者： mtrajcp 回答日時： 2023/07/23 10:32

2^n{x^2+nx+n(n-1)/4}e^(2x)

f(x)=(x^2)e^(2x)
P(n)=[f(n')(x)=2^n{x^2+nx+n(n-1)/4}e^(2x)]
とする

f'(x)
=2xe^(2x)+(2x^2)e^(2x)
=(2x+2x^2)e^(2x)
だから
P(1)=[f'(x)=2(x^2+x)e^(2x)]は真
ある自然数nに対してP(n)が真と仮定すると
f(n')(x)=2^n{x^2+nx+n(n-1)/4}e^(2x)

f{(n+1)'}(x)
=2^n(2x+n)e^(2x)+2^(n+1){x^2+nx+n(n-1)/4}e^(2x)
=2^(n+1){x+n/2+x^2+nx+n(n-1)/4}e^(2x)
=2^(n+1){x^2+(n+1)x+n(n+1)/4}e^(2x)
だから
P(n+1)=[f{(n+1)'}(x)=2^(n+1){x^2+(n+1)x+n(n+1)/4}e^(2x)]も真だから
すべての自然数nに対してP(n)が真だから

f(n')(x)
=
2^n{x^2+nx+n(n-1)/4}e^(2x)

No.3 回答者： endlessriver 回答日時： 2023/07/22 20:10

2ⁿ{2x²+2nx+n(n-1)/2}e^2x

No.2 回答者： へのへのもへへ 回答日時： 2023/07/22 19:52

大丈夫？こんな人が数学の単位とっていいのか？？

No.1 回答者： HONTE 回答日時： 2023/07/22 19:46

もう少々お待ち下さい。