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ArcsinX ArccosX ArctanX
のn回微分の求め方が分かりません。
どうか教えてください。

A 回答 (4件)

Ag-mp さんのご回答:


ミスタイプか,あるいはケアレスミスかと思いますが
(1)  (d/dx) arctan(x) = 1/(1+x^2)
ですね.

ライプニッツの定理は,積の微分の一般公式で,
(2)  (fg)^(n) = f^(n) g + C(n,1) f^(n-1) g^(1) + C(n,2) f^(n-2) g^(2)
         + ・・・+ f g^(n)
ですから,yumomonori さんのように f=arcsin(x)、g=1 とおいても
何も新しいことは出てきません.
なお,C(n,2) などは二項係数です.

(3)  (d/dx) arcsin(x) = 1/√(1-x^2)
ですから,積の微分ではなくて,合成関数の微分と見なすべき問題です.
つまり,
(4)  f(x) = 1/√(1-x) = (1-x)^(-1/2)
(5)  g(x) = x^2
として
(6)  h(x) = f(g(x))
の高階導関数を求める問題になります.

この種の問題はなかなか面倒で,
見通しよく扱うには Bell の多項式と呼ばれるものを使う方法が一般的ですが,
なかなかきれいな形にはまとめられないことがほとんどです.

質問の arcsin,arccos についてはたくさんの項の和,
という形にしかならないようです.

arctan については,岩波の数学公式集に
(7)  (d/dx)^n arctan(x)
    = (n-1)! {cos^n (arctan(x))} sin{n[arctan(x) + (π/2)]}
という恐ろしげな式が載っています.
どうやって導いたのか,すぐには見えません.
まあ,よくこんな式求めましたよね.

というわけで,簡単に求められる話ではありません.
(7)はこの式がわかっていれば,帰納法で証明できそうではあります.
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この回答へのお礼

なるほど、詳しい説明ありがとうございます。
ある問題を解こうとしてn回微分を使うのかなと思い、ここに質問したのですが、どうも、違うようですね。こんなに、n回微分がめんどうと言う話なら。

お礼日時:2003/06/02 02:56

#1さんのご回答に一部タイプミスがあるようなので,補足すると


d(ArctanX)/dx=1/(1+X^2)
です.

また
(d^n/dx^n)ArctanX
=(n-1)!・cos^n(ArctanX)・sin(n・ArctanX+nπ/2)
です.

数学的帰納法等で証明するのは質問者さんの宿題ですね.
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この回答へのお礼

どうもありがとうございます。
帰納法か~やってみるかな~

お礼日時:2003/06/02 02:38

回答にはなってないかもしれませんが・・・。

ライプニッツの定理でf=arcsinX、g=1として公式にあてはめてみるのはどうでしょうか。あとは帰納法を使うとか。もっとうまい方法があるかもしれませんが・・・。
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この回答へのお礼

ライプニッの定理は知らないんで、帰納法で試してみようかと思います。。。
う~んでも、いまいち解からない・・・

お礼日時:2003/06/02 01:48

とりあえず1回微分だけでも…



(y=arcsinx)
darcsinx/dx=dy/dx=1/(dx/dy)=1/(dsiny/dy)
=1/cosy=1/√(1-x^2)
(cosy=±√(1-(siny)^2),-π/2≦y≦π/2→cosy≧0)

同じようにしてやると
arccosxの微分は-1/√(1-x^2)
arctanxの微分は1/(1-x^2)

ここまでだったら自信ありですがn回は分からないです。
でも出た数字をずっと微分していけば良いのでは?
でもそれだとn回にはならないですね…
う~ん…
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この回答へのお礼

そうなんですよね。。。1回はできるんですよ、
でも、n回となると・・なにか公式めいたものがあるんでしょうかね。

お礼日時:2003/06/02 01:46

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合成関数の微分の公式
D(fg)=D(f)g+fD(g)
から何回か微分を行い,結果なり関係式なりを適当に推測して,それを帰納法を使って証明する方法でも別に問題ありません.

ライプニッツの公式は,2項定理
(a+b)^n=Σ[k=0,n]C[n,k]a^k*b^(n-k) (C[n,k]はnCkのこと・・・掲示板では見にくいので)
の「微分バージョン」みたいなもので
D^(n)(fg)=Σ[k=0,n]C[n,k]D^(k)f*D(n-k)g (D^(k)はk階微分のこと)---(*1)
というように合成関数の微分公式をn階微分まで拡張したものです.この公式を使えば推測して帰納法で証明しなくても一気に結果を求めることができます.

とはいうものの,実際この公式を適用するためには(*1)の右辺を見ればわかるように,個々の関数fとgについての1~n階微分までの情報はあらかじめ知っている必要があります.
この問題では個々の関数の微分は下のように
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sin(x) → cos(x) → -sin(x) → -cos(x) → …(以降繰り返し)---(*2)
簡単に求められます.しかもx^3の方は4次以上の微分は0なので,f=x^3, g=sin(x)とおくと(*1)の右辺でk=4以降の項は出てきません.すなわち,
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となります.sin(x)の微分は(*2)よりまとめて
D^(n)(sin(x))=sin(x-nπ/2)
とかけますので,
D^(n-1)(sin(x))=sin(x-nπ/2+π/2)=cos(x-nπ/2)
D^(n-2)(sin(x))=cos(x-nπ/2+π/2)=-sin(x-nπ/2)
・・・
のように変形しておけば,最終的に
D^(n)(x^3*sin(x))=x^3*sin(x-nπ/2)+3nx^2*cos(x-nπ/2)-3n(n-1)x*sin(x-nπ/2)-n(n-1)(n-2)*cos(x-nπ/2)
となることがわかります.

合成関数の微分の公式
D(fg)=D(f)g+fD(g)
から何回か微分を行い,結果なり関係式なりを適当に推測して,それを帰納法を使って証明する方法でも別に問題ありません.

ライプニッツの公式は,2項定理
(a+b)^n=Σ[k=0,n]C[n,k]a^k*b^(n-k) (C[n,k]はnCkのこと・・・掲示板では見にくいので)
の「微分バージョン」みたいなもので
D^(n)(fg)=Σ[k=0,n]C[n,k]D^(k)f*D(n-k)g (D^(k)はk階微分のこと)---(*1)
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Aベストアンサー

f(x)=Σ_{n=0~∞}(a_n)(x^n)/(n!)=a_0+Σ_{n=1~∞}(a_n)(x^n)/(n!)
ならば
すべての整数n≧0に対して
f^n(x)=a_n+Σ_{k=1~∞}(a_{n+k})(x^k)/(k!)
f^n(0)=a_n
が成り立つことを帰納法で示す。
n=0のとき
f(x)=a_0+Σ_{n=1~∞}(a_n)(x^n)/(n!)
f(0)=a_0
で成立
ある整数n≧0に対して
f^n(x)=a_n+Σ_{k=1~∞}(a_{n+k})(x^k)/(k!)
f^n(0)=a_n
を仮定すると
f^{n+1}(x)=Σ_{k=1~∞}(a_{n+k})(x^{k-1})/((k-1)!)
=a_{n+1}+Σ_{k=1~∞}(a_{n+1+k})(x^k)/(k!)
f^{n+1}(0)=a_{n+1}
n+1のときも成立するから
すべての整数n≧0に対して
f^n(0)=a_n
が成り立つ
(1)
f(x)=e^x=Σ_{n=0~∞}x^n/(n!)→f^n(0)=1
(2)
f(x)=sin(x)=(e^{ix}-e^{-ix})/(2i)
=(Σ_{n=0~∞}(ix)^n/(n!)-Σ_{n=0~∞}(-ix)^n/(n!))/(2i)
=Σ_{n=0~∞}{(i^n-(-i)^n)/(2i)}x^n/(n!)
f^n(0)=(i^n-(-i)^n)/(2i)=(-i^{n+1}-(-i)^{n+1})/2
f^{2k-1}(0)=(-i^{2k}-(-i)^{2k})/2=(-1)^{k+1}
f^{2k}(0)=(-i^{2k+1}-(-i)^{2k+1})/2=(-i(-1)^k-(-i)(-1)^k)/2=0
(3)
f(x)=cos(x)=(e^{ix}+e^{-ix})/2
=(Σ_{n=0~∞}(ix)^n/(n!)+Σ_{n=0~∞}(-ix)^n/(n!))/2
=Σ_{n=0~∞}{(i^n+(-i)^n)/2}x^n/(n!)
f^n(0)=(i^n+(-i)^n)/2
f^{2k-1}=(i^{2k-1}+(-i)^{2k-1})/2=(i(-1)^k+(-i)(-1)^k)/2=0
f^{2k}=(i^{2k}+(-i)^{2k})/2=(-1)^k
(4)
f(x)=√(1+x)=(1+x)^{1/2}
f'(x)=(1/2)(1+x)^{-1/2}
f''(x)=(1/2)(-1/2)(1+x)^{-3/2}
f^n(x)=(Π_{k=1~n}((1/2)-k+1)(1+x)^{(1/2)-n}
f^n(0)=Π_{k=1~n}((1/2)-k+1)
(5)
f(x)=arctan(x)
f'(x)=1/(1+x^2)=(1+x^2)^{-1}=Σ_{n=0~∞}(-x^2)^n=Σ_{n=0~∞}((-1)^n)x^{2n}
f^{2k-1}(0)=((-1)^{k-1})(k-1)!
f^{2k}(0)=0

f(x)=Σ_{n=0~∞}(a_n)(x^n)/(n!)=a_0+Σ_{n=1~∞}(a_n)(x^n)/(n!)
ならば
すべての整数n≧0に対して
f^n(x)=a_n+Σ_{k=1~∞}(a_{n+k})(x^k)/(k!)
f^n(0)=a_n
が成り立つことを帰納法で示す。
n=0のとき
f(x)=a_0+Σ_{n=1~∞}(a_n)(x^n)/(n!)
f(0)=a_0
で成立
ある整数n≧0に対して
f^n(x)=a_n+Σ_{k=1~∞}(a_{n+k})(x^k)/(k!)
f^n(0)=a_n
を仮定すると
f^{n+1}(x)=Σ_{k=1~∞}(a_{n+k})(x^{k-1})/((k-1)!)
=a_{n+1}+Σ_{k=1~∞}(a_{n+1+k})(x^k)/(k!)
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こんにちは

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lim[n→∞](1-1/n)^n=1/e
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Aベストアンサー

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がeの定義なので、(t→+0でもt→-0でもOK)
-1/n=tとおきます。

n→∞のとき、t→-0なので、
(与式)=lim(1+t)^(-1/t)   〔t→-0〕

これを変形すると、
=lim{(1+t)^(1/t)}^-1   〔t→-0〕
=e^-1
=1/e

高校の範囲なら、この証明で大丈夫です。

Q積分で1/x^2 はどうなるのでしょうか?

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S dx =x
S x dx=1/2x^2
S 1/x dx=loglxl
まではわかったのですが
S 1/x^2 dx
は一体どうなるのでしょうか??

Aベストアンサー

まず、全部 積分定数Cが抜けています。また、積分の前につけるものは “インテグラル”と呼び、そう書いて変換すれば出ます ∫

積分の定義というか微分の定義というかに戻って欲しいんですが
∫f(x)dx=F(x)の時、
(d/dx)F(x)=f(x)です。

また、微分で
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→∫x^adx={1/(a+1)}*x^(a+1)+C
となります。

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={1/(-2+1)}*x^(-2+1)+C
=-x^(-1)+C
=-1/x+C

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e^-2xの積分はどうしたらよいのでしょうか…。e^xやe^2xsinxなどはのってるのですがこれが見つかりません。お願いします。

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Qy=e^x^x 微分 問題

y=e^x^x 微分 問題

y=e^x^xを微分せよ
両辺に自然対数をとる
logy=loge^x^x=x^x(loge)
logy=x^x
両辺に自然対数をとる
log(logy)=logx^x=x(logx)
両辺を微分すると
(1/logy)・(1/y)・y'=logx+1
y'=(logx+1)(logy)・y
y'=(logx+1)・loge^x^x・e^x^x

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また、間違っている場合は解き方を示して頂けないでしょうか?

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Aベストアンサー

>y'=(logx+1)・loge^x^x・e^x^x

loge^x^x = x^x

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Aベストアンサー

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偏微分の記号∂(partial derivative symbol)にはいろいろな読み方があるようです。
(英語)
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MS-IMEはデルで変換します。JIS文字コードでの名前は「デル、ラウンドディー」です。

そこで、次のようなことを教えてください。
(1)分野ごと(数学、物理学、経済学、工学など)の読み方の違い
(2)上記のうち、こんな読み方をするとバカにされる、あるいはキザと思われる読み方
(3)初心者に教えるときのお勧めの読み方
(4)他の読み方、あるいはニックネーム

Aベストアンサー

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(1)
工学系の私は,式の中では「デル」,単独では「ラウンドデルタ」と呼んでいます。あとは地道に「偏微分記号」ですか(^^;
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申し訳ありませんが,あとは寡聞にして知りません。

(3)
初心者へのお勧めとは,なかなかに難問ですが,ひと通り教えておいて,式の中では「デル」を読むのが無難かと思います。

(4)
私はちょっと知りません。ごめんなさい。ニックネームは,あったら私も教えて欲しいです。

(2)
専門家に向かって「デル」はちょっと危険な香りがします。
キザになってしまうかどうかは,質問者さんのパーソナリティにかかっているでしょう(^^

*すいません。質問の順番入れ替えました。オチなんで。

では(∂∂)/


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