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arcsinのマクローリン展開について

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  • 質問者：harry818
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arcsinxのマクローリン展開は、どのようにすればよいのでしょうか？

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A 回答 (2件)

No.2ベストアンサー

マクローリン級数展開

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No.1

  • 回答者： info22
  • 回答日時：

以下に載っていますので見てください。



http://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question …
http://oshiete.eibi.co.jp/kotaeru.php3?q=609419
http://www.rarul.com/k-tai/java/math/
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(1)arcsin（x）のx=0でのtaylor展開を求めよ。
(2)(1)を用いて、6arcsin（1/2）を計算して、厳密値と比較せよ。
特に、x=0でのtaylor展開と
6arcsin（1/2）がわかりません。教えてください。

Aベストアンサー

#1です。

A#1の補足の質問の回答

（１）
>テイラー展開はできました。これを求めたことでｘ＝０でのということに
>なるのでしょうか？
テイラー展開がxのべき乗和の形に展開されているのでx=0の回りでのテイラー展開といえます。なお、x=0の回りのテイラー展開をマクローリン展開といいます。

（２）
ｆ１５（１／２）が３．１４５９１９８・・・となりません。
>fn(x)をf(x)のx^nの項までの和とすれば
と置いたので
f15(1/2)はx^15以下の次数の項の和です。項数で言えば８つ目までの項の和です。
f15(1/2)=

質問者さんの式では
f15(1/2)として　前から15項の和(つまりxの29乗以下の項の和)の式でx=1/2と置いていますので、これは f29(1/2)になります。
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ですね。

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Ag-mp さんのご回答：
ミスタイプか，あるいはケアレスミスかと思いますが
(1)　　(d/dx) arctan(x) = 1/(1+x^2)
ですね．

ライプニッツの定理は，積の微分の一般公式で，
(2)　　(fg)^(n) = f^(n) g + C(n,1) f^(n-1) g^(1) + C(n,2) f^(n-2) g^(2)
　　　　　　　　　+ ・・・+ f g^(n)
ですから，yumomonori さんのように ｆ＝arcsin(x)、g=1 とおいても
何も新しいことは出てきません．
なお，C(n,2) などは二項係数です．

(3)　　(d/dx) arcsin(x) = 1/√(1-x^2)
ですから，積の微分ではなくて，合成関数の微分と見なすべき問題です．
つまり，
(4)　　f(x) = 1/√(1-x) = (1-x)^(-1/2)
(5)　　g(x) = x^2
として
(6)　　h(x) = f(g(x))
の高階導関数を求める問題になります．

この種の問題はなかなか面倒で，
見通しよく扱うには Bell の多項式と呼ばれるものを使う方法が一般的ですが，
なかなかきれいな形にはまとめられないことがほとんどです．

質問の arcsin，arccos についてはたくさんの項の和，
という形にしかならないようです．

arctan については，岩波の数学公式集に
(7)　　(d/dx)^n arctan(x)
　　　　= (n-1)! {cos^n (arctan(x))} sin{n[arctan(x) + (π/2)]}
という恐ろしげな式が載っています．
どうやって導いたのか，すぐには見えません．
まあ，よくこんな式求めましたよね．

というわけで，簡単に求められる話ではありません．
(7)はこの式がわかっていれば，帰納法で証明できそうではあります．

Ag-mp さんのご回答：
ミスタイプか，あるいはケアレスミスかと思いますが
(1)　　(d/dx) arctan(x) = 1/(1+x^2)
ですね．

ライプニッツの定理は，積の微分の一般公式で，
(2)　　(fg)^(n) = f^(n) g + C(n,1) f^(n-1) g^(1) + C(n,2) f^(n-2) g^(2)
　　　　　　　　　+ ・・・+ f g^(n)
ですから，yumomonori さんのように ｆ＝arcsin(x)、g=1 とおいても
何も新しいことは出てきません．
なお，C(n,2) などは二項係数です．

(3)　　(d/dx) arcsin(x) = 1/√(1-x^2)
ですから，積の微分ではなくて...続きを読む

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Q積分で1/x^2 はどうなるのでしょうか？

Sは積分の前につけるものです
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まではわかったのですが
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Aベストアンサー

まず、全部　積分定数Ｃが抜けています。また、積分の前につけるものは　“インテグラル”と呼び、そう書いて変換すれば出ます　∫

積分の定義というか微分の定義というかに戻って欲しいんですが
∫f(x)dx＝Ｆ(x)の時、
(d/dx)Ｆ(x)＝f(x)です。

また、微分で
(d/dx)x^a＝a*x^(a-1)になります　…高校数学の数３で習うかと
よって、
∫x^(a-1)dx＝(1/a)*x^a＋Ｃ
→∫x^adx＝{1/(a+1)}*x^(a+1)＋Ｃ
となります。

つまり、
∫1/x^2 dx＝∫x^(-2)dx
＝{1/(-2+1)}*x^(-2+1)＋Ｃ
＝－x^(-1)＋Ｃ
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です。

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以下の8問の2変数関数の極限値を求めてる問題を解いてみたのですが
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【問題】
次の極限値は存在するか。存在する時には、その極値を求めよ。

(1) lim [(x,y)→(0,0)] (xy)/√(x^2+y^2)

まず、x→yの順に近づける。
lim[y→0]lim[x→0] (xy)/√(x^2+y^2) = 0
次に、y→xの順に近づける。
lim[x→0]lim[y→0] (xy)/√(x^2+y^2) = 0
上記より、異なる近づけ方でも極限値が1つに定まる。
よって、lim [(x,y)→(0,0)] (xy)/√(x^2+y^2)は極限値は0をとる。


(2) lim [(x,y)→(0,0)] (x^2+2y^2)/√(x^2+y^2)

まず、x→yの順に近づける。
lim[y→0]lim[x→0] (x^2+2y^2)/√(x^2+y^2) = 0
次に、y→xの順に近づける。
lim[x→0]lim[y→0] (x^2+2y^2)/√(x^2+y^2) = 0
上記より、異なる近づけ方でも極限値が1つに定まる。
よって、lim [(x,y)→(0,0)] (x^2+2y^2)/√(x^2+y^2)は極限値は0をとる。


(3) lim [(x,y)→(0,0)] (xy)/(x^2+2y^2)

まず、x→yの順に近づける。
lim[y→0]lim[x→0] (xy)/(x^2+2y^2) = 0
次に、y→xの順に近づける。
lim[x→0]lim[y→0] (xy)/(x^2+2y^2) = 0
上記より、異なる近づけ方でも極限値が1つに定まる。
よって、lim [(x,y)→(0,0)] (xy)/(x^2+2y^2)は極限値は0をとる。


(4) lim [(x,y)→(0,0)] (x-y^2)/(x^2-y)

まず、x→yの順に近づける。
lim[y→0]lim[x→0] (x-y^2)/(x^2-y) = 0
次に、y→xの順に近づける。
lim[x→0]lim[y→0] (x-y^2)/(x^2-y) = 0
上記より、異なる近づけ方でも極限値が1つに定まる。
よって、lim [(x,y)→(0,0)] (x-y^2)/(x^2-y)は極限値は0をとる。


(5) lim [(x,y)→(0,0)] (y^2)/(x^2+y^2)

まず、x→yの順に近づける。
lim[y→0]lim[x→0] (y^2)/(x^2+y^2) = 1
次に、y→xの順に近づける。
lim[x→0]lim[y→0] (y^2)/(x^2+y^2) = 0
上記より、異なる近づけ方をすると極限値が1つに定まらない。
よって、lim [(x,y)→(0,0)] (y^2)/(x^2+y^2)は極限値を持たない。


(6) lim [(x,y)→(0,0)] (x^2-y^2)/(x^2+y^2)

まず、x→yの順に近づける。
lim[y→0]lim[x→0] (x^2-y^2)/(x^2+y^2) = -1
次に、y→xの順に近づける。
lim[x→0]lim[y→0] (x^2-y^2)/(x^2+y^2) = 1
上記より、異なる近づけ方をすると極限値が1つに定まらない。
よって、lim [(x,y)→(0,0)] (x^2-y^2)/(x^2+y^2)は極限値を持たない。


(7) lim [(x,y)→(0,0)] (xy)/(x^2+y^2)

まず、x→yの順に近づける。
lim[y→0]lim[x→0] (xy)/(x^2+y^2) = 0
次に、y→xの順に近づける。
lim[x→0]lim[y→0] (xy)/(x^2+y^2) = 0
上記より、異なる近づけ方でも極限値が1つに定まる。
よって、lim [(x,y)→(0,0)] (xy)/(x^2+y^2)は極限値は0をとる。


(8) lim [(x,y)→(0,0)] (x^2y)/(x^2+y^2)

まず、x→yの順に近づける。
lim[y→0]lim[x→0] (x^2y)/(x^2+y^2) = 0
次に、y→xの順に近づける。
lim[x→0]lim[y→0] (x^2y)/(x^2+y^2) = 0
上記より、異なる近づけ方でも極限値が1つに定まる。
よって、lim [(x,y)→(0,0)] (x^2y)/(x^2+y^2)は極限値は0をとる。


もし、導き方がおかしいようなら、ご指摘いただければと思います。
以上、ご指導のほどよろしくお願いします。

以下の8問の2変数関数の極限値を求めてる問題を解いてみたのですが
計算結果が正しいか自信がありません。
わかる方、ご指導よろしくお願いいたします。

【問題】
次の極限値は存在するか。存在する時には、その極値を求めよ。

(1) lim [(x,y)→(0,0)] (xy)/√(x^2+y^2)

まず、x→yの順に近づける。
lim[y→0]lim[x→0] (xy)/√(x^2+y^2) = 0
次に、y→xの順に近づける。
lim[x→0]lim[y→0] (xy)/√(x^2+y^2) = 0
上記より、異なる近づけ方でも極限値が1つに定まる。
よって、lim [(x,y)→(0,0)] (xy)/√(x^...続きを読む

Aベストアンサー

訂正
(1)は式に絶対値をつけとかんといかんかった。
|(xy)/√(x^2+y^2)|=|x|/√(x^2+y^2)・|y|/√(x^2+y^2)・√(x^2+y^2)
≦1・1・√(x^2+y^2) →0
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失礼しました。

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Q大学積分

1/x^3-1 の積分の問題がわかりません。
部分分数で
　1/x^3-1=(1/(x-1)-(x+2)/x^2+x+1)*1/3・・・・・・・(1)
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として計算するようなのですが
(1)～(2)に分ける仕方がよくわかりません。

Aベストアンサー

そんな奇妙な分けかたをするから、解からないのです。
x^3-1 は根が全て単根なのだから、素直に
1/(x^3-1) = A/(x-1) + B/(x-ω) + C/(x-ω^2) と置きましょう。
ω は 1 の虚三乗根のひとつ。
ω = (-1+i√3)/2 でも、ω = (-1-i√3)/2 でも、どちらでも構いません。

式の両辺に (x-1) を掛けて x→1 の極限をとる。
式の両辺に (x-ω) を掛けて x→ω の極限をとる。
式の両辺に (x-ω^2) を掛けて x→ω^2 の極限をとる。
…を各々行えば、定数 A,B,C の値が判ります。

後は、積分して
∫dx/(x^3-1) = A∫dx/(x-1) + B∫dx/(x-ω) + C∫dx/(x-ω^2)
の右辺を計算・整理すればよいです。
∫dx/(x-a) = log(x-a) は、習いましたよね？

答えの式に虚数の係数が残ることに心理的な抵抗があるなら、
オイラーの等式 e^(iy) = (cos y) + i(sin y) でも使って
適当に変形すればよいでしょう。(気持ちの問題ですが…)

そんな奇妙な分けかたをするから、解からないのです。
x^3-1 は根が全て単根なのだから、素直に
1/(x^3-1) = A/(x-1) + B/(x-ω) + C/(x-ω^2) と置きましょう。
ω は 1 の虚三乗根のひとつ。
ω = (-1+i√3)/2 でも、ω = (-1-i√3)/2 でも、どちらでも構いません。

式の両辺に (x-1) を掛けて x→1 の極限をとる。
式の両辺に (x-ω) を掛けて x→ω の極限をとる。
式の両辺に (x-ω^2) を掛けて x→ω^2 の極限をとる。
…を各々行えば、定数 A,B,C の値が判ります。

後は、積分して
∫dx/(x^3-1) = A∫dx/(x-1) + B∫dx/(x-ω...続きを読む

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Qtanxのマクローリン展開について

「f(x)=tanxのマクローリン展開をn=3まで求めなさい」という問題について、悩んでいます。

f(x)＝sin(x)やf(x)＝cos(x)の例を参考に、f'(0)、f''(0)、f'''（0)より級数形式の一般項を求めようとしました。

tanx=sinx/cosxなので、ｆ'=1/cos^2xですが、このままf''、f'''と求めるのは大変面倒な気がします。

最終的な回答は、x+x^3/3+2x^5/15+34x^7/315らしいのですが、こちらから一般項に辿り着けません。

わかる方がいらっしゃいましたら、教えてください。
できましたら、途中の進め方を詳しくお願い致します。

Aベストアンサー

1/(cosx)^2=1+(tanx)^2という公式をフル活用します。
tanxをxで微分すると
(tanx)'=f'(x)=1/(cosx)^2=1+(tanx)^2
となります。
あとは
f''(x)=2*(tanx)*(tanx)'=2tanx+2*(tanx)^3
f'''(x)=2(tanx)'+2*3*(tanx)^2*(tanx)'=2+8tanx^2+6(tanx)^3
といった感じで、f''(x)、f'''(x)、…は計算できます。

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楕円E：(x/a)^2+(y/b)^2≦1 に関して
面積 ∬_E dxdy を求めるとき、
変数変換 x=ar*cosθ,y=br*sinθ を行うと、楕円 E の r,θ での表示 E' はどのようになるのでしょうか？

Aベストアンサー

E={(x,y)|(x/a)^2+(y/b)^2≦1}
E'={(r,θ|0≦r≦1,-π≦θ＜π}
　または
E'={(r,θ|0≦r≦1,0≦θ＜2π}
で良いでしょう。

なお、積分の変数変換でヤコビアン|J|を忘れないようにして下さい。
つまり
dxdy=|J|drdθ=abrdrdθ
∫[E] dxdy=∫[E'] abrdrdθ
　=4ab∫[0,π/2] dθ∫[0,1] rdr
　=2πab[r^2/2](r=1)
=πab
ということです。

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無限級数Σ(n=1～∞)(n/n^2+1)の収束・発散はどのようにしてもとまるのでしょうか？

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ダランベールを試したのですが…値が１になってしまい行き詰ってます…。

判別方法と回答をお願いします…。

Aベストアンサー

n ≧ 1 において
n/(n^2 + 1) ≧ n/(n^2 + n) = 1/(n+1)

∴　Σ n/(n^2+1) ≧ Σ 1/(n+1)
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