線形代数学の問題がわかりません。教えてください。 １、2次以下の多項式全体V=R+Rx+Rx^2は足

線形代数学の問題がわかりません。教えてください。
１、2次以下の多項式全体V=R+Rx+Rx^2は足し算に関してベクトル空間であることを示せ。
よろしくお願いします！

No.2 ベストアンサー 回答者： 確変 回答日時： 2019/08/03 10:01

あくまで「例えば」ということで, 以下の W を考える.

W = ℝ[x] は多項式環として有名だが, ℝ 線型空間ともみなせる.
W が ℝ 線型空間であることを少なくとも 1 回は証明済みで, きちんと理解しているなら,
V = {ax² + bx + c | a, b, c ∈ ℝ} は ℝ 線型空間 W の空でない部分集合だから, 以下の 2 条件
1. f, g ∈ V ならば f + g ∈ V
2. r ∈ ℝ, f ∈ V ならば rf ∈ V
が成り立つことを証明すれば, V は W の部分空間（線型部分空間）である, つまり,
"V は ℝ 線型空間である"
と結論して差し支えない.
しかし, いきなり V から考え始めるときは, V が ℝ 線型空間の定義を満たしている, つまり,
すでに挙げた 2 条件が成り立つことに加えて,
"線型代数学の教科書に必ず挙げられている, 8 個の性質をすべて満たしている"
ことを, 面倒くさがらずに証明する必要がある.

この回答へのお礼

ありがとうございます

お礼日時：2019/08/04 15:59

No.1 回答者： ありものがたり 回答日時： 2019/08/01 12:14

「足し算に関してベクトル空間である」って何やねん？

V=R+Rx+Rx^2 も謎だが、V は実数係数で2次以下の多項式全体って意味かな。
V がベクトル空間か否かを考えるためには、V 上に足し算とスカラー倍を定義する
必要があるが、多項式には足し算と定数倍が既にあるから、それを採用しろってこと
なんだろうと思われる。そのセンでやってみると...

ベクトル空間の定義は、足し算とスカラー倍について閉じていること。
V = { ax^2+bx+c | a,b,cは実数 } と書けるから、
V の任意の元 ax^2+bx+c と Ax^2+Bx+C について
(ax^2+bx+c) + (Ax^2+Bx+C) = (a+A)x^2 + (b+B)x + (c+C) で、
これは V の元になっている。
また、任意の実数 s について
s(ax^2+bx+c) = (sa)x^2 + (sb)x + (sc) で、
これも V の元になっている。
足し算とスカラー倍について閉じているから、
V は多項式の通常の足し算と定数倍を演算としてベクトル空間になっている。

この回答へのお礼

ありがとうございます

お礼日時：2019/08/04 15:59