パデ近似の収束半径

パデ近似の収束半径がどのようにして求まるのか教えてください。
英語のサイトに載っているような気がしますが読めませんorz
誰かお願いします。

No.3 ベストアンサー 回答者： info22_ 回答日時： 2013/01/01 19:08

#1,#2です。

A#2の補足質問について

>マクローリン展開した関数が収束半径rの場合、パデ近似の関数も収束半径ｒとなってしまいます。
級数（べき乗展開の係数）が異なるのにどうして両方とも同じrになると決め付けるのでしょうか？
計算して見ましたか？

>しかし、f(t)=1/(1+t^2)とした時、マクローリン展開の収束半径は-1<r<r　パデ近似は-∞<r<∞となるため、

>マクローリン展開の収束半径は「-1<r<r」のr<rは何でしょうか？

>パデ近似は-∞<r<∞となるため、

パデ近似の収束半径の定義式は何でしょうか？
あくまでの全てのxについてf(x)=g(x)は成立しません。
g(x)はf(x)の近似ですからg(x)の級数展開の無限項和をとっても、f(x)に収束することはありません。
パデ近似のg(x)の級数展開はg(x)にしか収束しません。

収束半径というのはある一定範囲{x{<rの任意のxに対してf(x)に収束する時のrのことですから
f(x)≠g(x)なのでg(x)の級数展開はf(x)に収束することはありません。
パデ近似g(x)がg(x)に収束するのは当たり前です。パデ近似がf(t)に収束するなら、収束半径を考える意味があります。

g(x)はf(x)の近似関数ですがf(x)とは異なりますからg(x)の収束性を考えても意味ないかと思います。
敢えて考えるならA#2のように考える必要があります。
f(x)-g(x)という誤差は現に存在するわけですから、誤差部分を除いた関数について
収束半径を考える意味はあります。

この回答へのお礼

何か勘違いをしていたようです。
ここまで丁寧に教えてくださりありがとうございました。

お礼日時：2013/01/01 20:15

No.2 回答者： info22_ 回答日時： 2013/01/01 16:23

#1です。

A#1の補足質問について

>一般に最もよい近似となりやすいm=nのときのパデ近似と条件を加えれば収束半径を定義できるのでしょうか？
パデ近似は分子と分母の多項式の次数の和は奇数の場合と奇数の場合があります。どちらかの場合を使うかはf(x)の関数の性質によります。なので最もよい近似となるのはm=nの場合とは限りません。

原関数f(t)のマクローリン展開を
f(x)=Σ[j=0,∞]cjx^i
とし、採用するf(t)のパデ近似をg(x)とする。ただしg(x)の分子の次数をm,分母の次数をnとする。
g(x)のマクローリン展開を
g(x)=Σ[j=0,∞]djx^j
とすれば
パデ近似の定義から　cj=dj(j=0～m+n)
f(x)-g(x)=Σ(j=m+n+1,∞) bjx^j, bj=cj-dj (j=m+n+1～∞)
なので
g(x)=f(x)-Σ(j=m+n+1,∞) bjx^j, bj=cj-dj (j=m+n+1～∞)

(k>m+n+1と考えて)
L=lim(k→∞)|bk+1/bk|
とLを定義し、収束半径rを
r＝1/L
と定義すればいいかと思います。

この回答への補足

このような定義だと、マクローリン展開した関数とパデ近似の関数の誤差を評価しているため、マクローリン展開した関数が収束半径rの場合、パデ近似の関数も収束半径ｒとなってしまいます。
しかし、f(t)=1/(1+t^2)とした時、マクローリン展開の収束半径は-1<r<r　パデ近似は-∞<r<∞となるため、
そのような定義はおかしいと思います。

補足日時：2013/01/01 17:10

No.1 回答者： info22_ 回答日時： 2013/01/01 12:51

パデ近似は、近似する原関数を、

「マクローリン展開のm+n次までのべき級数展開の係数」と
「分子と分母の次数の和がm+nの有理多項式のマクローリン展開のm+n次までのべき級数展開の係数」
とが等しくなるように
有理多項式の分子分母の多項式の係数を決定するものであることはご存じでしょう。
パデ近似は分子と分母の次数の和が同じ(m+n)でも、分子と分母の多項式の次数の分割の仕方は何通りも存在し一通りではありません。
なので、
通常のべき級数関数展開の収束半径の定義（参考URL参照）のように
パデ近似の収束半径は定義できないと思います。

参考URL：http://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%8F%8E%E6%9D%9F% …

この回答への補足

その通りですね。
では、一般に最もよい近似となりやすいm=nのときのパデ近似と条件を加えれば収束半径を定義できるのでしょうか？

補足日時：2013/01/01 14:26