2次以上の多項式g(x)であって, 任意の無理数に対して無理数の値を取るものは存在しないことを示せ.
この質問が簡単なのに放置されているので考えてみました。
あっているでしょうか?
そのようなg(x)(次数をn≧2とする)が存在するとして、条件からg(x)は整数係数と考えてよい。
そこで、最高次の係数の素因数ではない素数pをとり、pと互いに素な整数kでk/p^(n-1)がg(x)の値域に含まれるものをとると、
g(x)=k/p^(n-1)
の解は無理数である。
他にもっとよい方法があれば教えて下さい。
No.7ベストアンサー
- 回答日時:
条件からg(x)は整数係数と考えてよい。
//たしかにそのとおりです。
ぼくはヴァンデルモンドの行列式と連立一次方程式のクラメールの公式
から確認しました。
最高次の係数の素因数ではない素数pをとり、pと互いに素な整数kでk/p^(n-1)がg(x)の値域に含まれるものをとると、
g(x)=k/p^(n-1)
の解は無理数である。//
これもそのとおりです。
この解が有理数であるとして既約分数であらわしたときn≧2の場合
その分母も分子もpを素因数に持たなければならないという矛盾が起こる、
完璧ですね。
ただ凡人のぼくにはこのやりかたが簡単とは思えない笑
No.8
- 回答日時:
整数係数でよいことの証明は No.7 の言うとおり。
van der Monde 方程式に帰着する前に、ひとこと
g(x) の値域が少なくとも n+1 個の有理数を含むこと
には触れたほうがいいけど。
これは、中間値定理と有理数の稠密性から出る。
No.6
- 回答日時:
g(x)=ax^2+bx+c
が
任意の無理数に対して無理数の値をとると仮定する
g(s)=m
g(t)=m+1
となるような有理数m,実数s,tが存在する
仮定から
s,tは有理数
h(x)=ax^2+bx+c-m
とすると
h(s)=0
だからsはh(x)=0の解
h(x)=0のもう1つの解をuとすると仮定からuは有理数だから
su=(c-m)/a
は有理数
p(x)=ax^2+bx+c-m-1
とすると
p(t)=0
だからtはp(x)=0の解
p(x)=0のもう1つの解をvとすると仮定からvは有理数だから
tv=(c-m-1)/a
は有理数
だから
su-tv=1/a
は有理数だから
aは有理数
だから
asu=c-m
も有理数
asu+m=c
も有理数
s+u=-b/a
も有理数
-a(-b/a)=b
も有理数だから
a,b,cはすべて有理数
g(x)=a{x+b/(2a)}^2+(4ac-b^2)/(4a)
x=(√2)-b/(2a)
とすると
xは無理数
g(x)=2a+(4ac-b^2)/(4a)
は
有理数だから
2次の多項式g(x)で
任意の無理数に対して無理数の値をとるものは存在しない
No.5
- 回答日時:
g(x)=ax^2+bx+c
が
任意の無理数に対して無理数の値をとると仮定する
g(s)=n
g(t)=n+1
となるような有理数nが存在する
仮定から
s,tは有理数
h(x)=ax^2+bx+c-n
とすると
h(s)=0
だからsはh(x)=0の解
h(x)=0のもう1つの解をuとすると仮定からuは有理数だから
su=(c-n)/a
は有理数
p(x)=ax^2+bx+c-n-1
とすると
p(t)=0
だからtはp(x)=0の解
p(x)=0のもう1つの解をvとすると仮定からvは有理数だから
tv=(c-n-1)/a
は有理数
だから
su-tv=1/a
は有理数だから
aは有理数
だから
asu=c-n
も有理数
asu+n=c
も有理数
s+u=-b/a
も有理数
-a(-b/a)=b
も有理数だから
a,b,cはすべて有理数だから
g(x)は整数係数と考えてよい
という説明が必要です
お探しのQ&Aが見つからない時は、教えて!gooで質問しましょう!
おすすめ情報
- ・漫画をレンタルでお得に読める!
- ・【お題】絵本のタイトル
- ・【大喜利】世界最古のコンビニについて知ってる事を教えてください【投稿~10/10(木)】
- ・メモのコツを教えてください!
- ・CDの保有枚数を教えてください
- ・ホテルを選ぶとき、これだけは譲れない条件TOP3は?
- ・家・車以外で、人生で一番奮発した買い物
- ・人生最悪の忘れ物
- ・【コナン30周年】嘘でしょ!?と思った○○周年を教えて【ハルヒ20周年】
- ・ハマっている「お菓子」を教えて!
- ・最近、いつ泣きましたか?
- ・夏が終わったと感じる瞬間って、どんな時?
- ・10秒目をつむったら…
- ・人生のプチ美学を教えてください!!
- ・あなたの習慣について教えてください!!
- ・牛、豚、鶏、どれか一つ食べられなくなるとしたら?
- ・都道府県穴埋めゲーム
マンスリーランキングこのカテゴリの人気マンスリーQ&Aランキング
-
多項式について質問です。 エク...
-
(x-1)(x-2)(x-3)の展開の...
-
等差×等比 型の数列の和を求め...
-
斉次とは?(漢字と意味)
-
余次元って何?
-
約数と因数の違い(∈N)
-
データのノイズ除去法 - Savitz...
-
問題が理解できません
-
以前に 「画像のローラン展開は...
-
組立除法 1次式 ax-k の係数...
-
単項式と分数式の違いについて
-
約数と因数の違い
-
可算個の不連続点をもつ関数の...
-
deg f?
-
CRCのアルゴリズムって、どんな...
-
e^sinXの展開式について。。。
-
原始多項式の求め方
-
(1+x)^n=1+nxについて
-
arcsinのマクローリン展開について
-
1となるように正規化
おすすめ情報