複素数の利点、重要度

今大学で解析的なものを勉強しています。
私は複素数が苦手です。複素数って実世界には存在しない数ですよね？（←これすらも間違えてたらすみません）複素数って何のためにあるんですか？複素数の利点って何ですか？複素数って重要なんですか？
複素数の利点や重要度が理解できれば納得して勉強にも力が入ると思うのですが、利点、重要度がわからないのでさっぱり力が入りません。どなたか教えてください。

No.10 回答者： tenntennsevengoo 回答日時： 2007/03/03 00:56

複素数は実際にそんざいします。

今までの数学が間違えていたのです。
以上

No.9 回答者： tatsumi01 回答日時： 2005/07/26 10:55

代数学の基本定理というのがあります。

N次多項式=0 とおいたとき、多項式の係数が実数とすると、根を実数に限定すると解がないことがあります (二次方程式でもおなじみですね)。
しかし、根が複素数で良いとすると N個あります (重根は２個と数えるとして)。
実はこのことは係数が複素数の N次多項式についても成立し、複素数の範囲で根は N個あります。このように、複素数で考えて一般的に成立する現象は沢山あります。
定積分にしても、1/(x^2+1) を [0,1] で数値積分しようとしたとき、この関数は [0,1] で何の異常性もない筈なのに、なぜか苦労します。この理由は実数だけで考えていては理解できません。1/(x^2+1) は x=i,-i で無限大になる (極になる) ということを考慮に入れると理解できるのです。

No.8 回答者： pyon1956 回答日時： 2005/07/26 09:02

＞複素数って実世界には存在しない数ですよね？（←これすらも間違えてたらすみません）

実数も自然数も実世界には存在しませんが。１が走っていったり、－√３が飯食ってたりしたらコワイのは私だけじゃないと思いますが・・・・

結局
(1)抽象化の度合いの違い。
(2)歴史的な新しさ・古さの問題
(3)日常的に使う度合い
の問題でしかないのでは？

いずれも人間が創ったものには違いないので誤解されぬよう。

実用については、#5さんのリンク先をどうぞ。

No.7 回答者： pathology 回答日時： 2005/07/26 00:46

＞今大学で解析的なものを勉強しています。

ということは、理系ですよね。

＞私は複素数が苦手です。複素数って実世界には存在しない数ですよね？
この質問が上の推測と合致しないので困惑します。

高校で習った範囲でも十分に複素数の「ありがたみ」を感じませんでしたか？　小生は高齢のため近頃の高校教科書を知りませんが、複素平面だけでも感動ものでした。もし違っていたら大変失礼ですが、高校レベルを完全に固めてから先に進まれた方がよいと思います。

No.6 回答者： rinkun 回答日時： 2005/07/26 00:31

> 複素数って実世界には存在しない数ですよね？

うーん、そもそも数は実世界に存在しないですね。
でも実数が実在するのと同じくらいには実在してますよ。
理屈で言えば2の平方根である√2と-1の平方根であるiにどれほどの違いがあるわけでもないですし、実数の大半はそもそも指し示すこともできない曖昧なものですから複素数より実在性は疑わしく思ったり。
# 人間が有限の長さで定義できる数の全体は高々可算個なので非可算個の実数のほとんどは定義不能なの

身近で自然に複素数を使うものとしては電磁気学なんかどうかな。少なくとも数学・物理を分かりやすくするのには役立ってますね。

No.5 回答者： oz-boshin 回答日時： 2005/07/26 00:17

虚数に関して、以下の質問があったことをお伝えいたします。

参考URL：http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?q=1484308

No.4 回答者： shibainumodoki 回答日時： 2005/07/25 23:53

確かに、現実の世界では、複素数 z=a+ib(a,bは実数,iは虚数単位)とは『想像上の数』で不思議なモノですが、数学の世界では、実数は複素数z=a+ib のbがb=0 となった『複素数の中で特別なモノ』と捉えることができます。

例えば、微分方程式を解くときに複素数が度々登場しますし、三角関数の加法定理も、『オイラーの公式』：exp(iθ)=cosθ + i sinθ　から導出できます。
また、オイラーの公式によって、三角関数と指数関数が親戚であることも分かります。
また量子力学のシュレディンガー方程式では、i が出てきます。
複素数は、数学・物理などの世界では、必要不可欠な道具ではないでしょうか？

No.3 回答者： sggk 回答日時： 2005/07/25 23:46

私は大学で物理をやっていましたが、虚数が出てくる身近なシーンといえば相対性理論ですかね。

(全然身近じゃないか・・・)

今、私達の住んでいる世界は4次元空間で、x,y,zの空間軸とtの時間軸からできていますが、この時間軸が虚数軸であらわされるのです。x,y,zはお互い入れ換えができますが、tとx,y,zは入れ換えることができません。また、x,y,zは負の方向に移動ができます(一方を正の方向の移動と仮定)が、tは負の方向に移動できません。実数軸であるx,y,zからは、時間軸tは想像できない場所に存在しているように見えるわけです。
実数と虚数の関係もこんな関係と思ってくれればよいのではないでしょうか。

非常に概念的なアドバイスかもしれませんが、勉強意欲の少しの足しにでもなってくれれば幸いです。

No.2 回答者： Josquin 回答日時： 2005/07/25 23:46

１番よく使うのは、sin、cosの変わりの eの虚数乗（e^ix）だと思います。

あと、複素積分を使うと（もう忘れましたが）変な積分の値が求められたりします。

No.1 回答者： YNi2B2C 回答日時： 2005/07/25 23:38

大変重要です。

あなたの専門が分からないので関係あるか分かりませんが、
・電磁気学
・量子力学
・振動解析
などなどで頻繁に出てきます。少なくとも、私の学生時代の専門分野ではそうでした。
その時が来れば、「ああ、ここで使うのか」と得心出来ると思いますよ＾＾