No.1ベストアンサー
- 回答日時:
x_1ω+x_2ω^2+x_3ω^3+…+x_(p-1)ω^(p-1)=0
の両辺にωをかけましょう
x_(p-1)+x_1ω+x_2ω^2+x_3ω^3+…+x_(p-2)ω^(p-1)=0
ここで、x^(p-1)+x^(p-2)+・・・+1は既約多項式であることに注意してください。
(∵x=y+1とおくとx^(p-1)+x^(p-2)+・・・+1={(1+y)^p-1}/y=y^(p-1)+p*y^(p-2)+・・・+pだから、アイゼンシュタインの判定法よりx^(p-1)+x^(p-2)+・・・+1は既約多項式となります)
したがって、ωの最小多項式はx^(p-1)+x^(p-2)+・・・+1=0となる。
したがって、n-2次以下の整式f(x)でf(ω)=0となるものは存在しない。
よって
x_(p-1)+x_1ω+x_2ω^2+x_3ω^3+…+x_(p-2)ω^(p-1)=0
⇒ x_1=・・・=x_(p-1)=0
となる。
この回答への補足
ありがとうございます。少しわからないところがあるので、もしよければまたご教授いただければと思います。
x_1,…,x_{p-1}が有理数であれば確かにそれでよいと思うのですが、いまの場合ηを1の原始p-1乗根として、Q(η)に入っているとしています。もちろんωがQ(η)に含まれないことからやはりそれで大丈夫だとは思うのですが、ここのところがいまひとつ納得できないです。
すみません。いろいろ理解していないことがたくさんありました。Q(η)[X]で既約判定法を使って、f(X)=1+X+…+X^{p-1}∈Q(η)[X]が既約多項式で、かつf(ω)=0だから、f(X)は最小多項式であり、したがってQ(η)[X]の元g(X)でg(ω)=0となるp-2次以下のものは存在しない、ということですね。よくわかりました。ありがとうございました。
お探しのQ&Aが見つからない時は、教えて!gooで質問しましょう!
似たような質問が見つかりました
- 数学 上三角行列のn乗の証明 2 2023/07/23 21:45
- 数学 数学の解法について こんばんは。最近数学の問題を解いています。証明問題を解いたのですが、解答とアプロ 4 2022/09/11 23:22
- 数学 多項式の性質と無理数・有理数 2 2022/06/21 06:50
- 数学 多変数関数の微分とテイラー展開について 5 2022/04/24 16:55
- 数学 1-1+1-1+…=sqrt(2)って証明できるの?(解析接続)(グランディ級数) 解析接続はほぼ入 3 2023/06/08 12:35
- 数学 数学的帰納法 添付の一般項を求める問題なのですが、 赤線の部分でn=k+1としています。 そしてa( 1 2022/10/22 15:29
- 数学 『因数に分解するということ』 9 2022/06/27 06:14
- 数学 ある大学の入試問題に a[1]=2, a[n+1]=1+1/(1-Σ[k=1→n]1/a[k]) で 4 2022/07/25 14:45
- 数学 三角関数の極限を「はさみうちの原理」で考える時の不等号について 1 2022/07/22 01:13
- 数学 ベクトルの一次独立が一通りに分解される理由 2 2022/05/19 19:53
デイリーランキングこのカテゴリの人気デイリーQ&Aランキング
-
多項式について質問です。 エク...
-
(1+x)^n=1+nxについて
-
単項式と分数式の違いについて
-
数学に関する質問です。
-
余次元って何?
-
(x-1)(x-2)(x-3)の展開の...
-
deg f?
-
斉次とは?(漢字と意味)
-
arcsinのマクローリン展開について
-
CRCチェック 多項式の選び方
-
中三数学 (-5X+1)(5X+1)の答...
-
代数的整数とは何ですか?
-
パデ近似の利点について教えて...
-
多項式を行列式で表示したい
-
(x+2y+2z)^2 →これのやり方教え...
-
剰余の定理と因数分解(あまり...
-
2次式(2次3項式)の因数分解で、...
-
生成多項式
-
テイラー展開とローラン展開
-
ルーシェの定理の使い方につい...
マンスリーランキングこのカテゴリの人気マンスリーQ&Aランキング
-
(x-1)(x-2)(x-3)の展開の...
-
代数
-
この中で多項式はいくつありま...
-
あってますか?
-
(中3数学)次の式を展開しなさ...
-
多項式について質問です。 エク...
-
素イデアルの判定がわからないです
-
約数と因数の違い(∈N)
-
deg f?
-
e^sinXの展開式について。。。
-
単項式と分数式の違いについて
-
(x+3)(x-3)(x^4+9x^2+81)の展開...
-
arcsinのマクローリン展開について
-
斉次とは?(漢字と意味)
-
データのノイズ除去法 - Savitz...
-
(1+x)^n=1+nxについて
-
等差×等比 型の数列の和を求め...
-
余次元って何?
-
塾での問題なんですが・・・至...
-
パデ近似の利点について教えて...
おすすめ情報