多項式環のイデアル

代数幾何をやる準備として基礎を復習しているのですが、いろいろ難しいことがたくさんあって、わからないところの質問です。
Ｒを実数体, s, t を自然数, u＝max{s, t} として、多項式環Ｒ[x, y] のイデアルＡ＝(x^s, y^t), Ｂ＝(x^t, y^s), Ｃ＝(x^u, y^u) を考える。
次の 1, 2, 3, 4 の中で、成り立たないものはありますか。
自分としては、全部成り立つと思っています。

s＝t＝1 のとき
1. Ａ＝Ｂ＝Ｃ は素イデアルになる（これは自分で証明できました）

s＝t＝1 でないとき
2. Ａ, Ｂ, Ｃ はどれも準素イデアルになり,
3. Ａ∩Ｂ＝Ｃ が成り立ち,
4. √Ａ＝√Ｂ＝√Ｃ＝(x, y) が成り立つ

2, 3, 4 はいいところまでいったのですが、途中で頭が混乱してきて証明が中途半端で終わってしまいました。
全体を通して少し引っかかるところがあるので、成り立つかどうかだけでもいいですから、どうかアドバイスをよろしくお願いします。

No.3 ベストアンサー 回答者： ramayana 回答日時： 2011/03/20 08:38

具体的なイメージで捉えることが有益です。

(x^s, y^t)に属する多項式を、いくつか思い浮かべてみましょう。それで

　　(x^s, y^t) = { (x^s)f(x,y) + (y^t)g(x,y) | f(x,y), g(x,y)はR[x,y]の元}

が見えてしまえば、1,2,3,4が成立することは、容易に分かるはずです。

なお、

　　(x,y) = 「定数項がない多項式全体」

であることにも注意しましょう。

この回答へのお礼

有益なアドバイス、ありがとうございました。
おかげですべて解決した・・・と思います。
証明をすべてここに書くと長くなるので省略しますが、漠然としたイメージから確信かそれに近い状態にまで上がったみたいです。
まずＡ＝(x, y^2), Ｂ＝(x^2, y), Ｃ＝(x^2, y^2) の場合でうまく証明できたので、この調子なら簡単と考えたのが甘すぎました。
まだ習ったことを忘れるほど時間が過ぎてないのに、自分の勉強不足を痛感しております。
(x,y) = 「定数項がない多項式全体」というのは、0 は定数項と見なさないということでしょうか。
使っている教材は説明が難しく、定義も簡略に述べられているものですから。
すでに回答を締め切ってしまい、お答えいただけない状態を作ってしまったことを深くお詫びします。

お礼日時：2011/03/20 13:27

No.2 回答者： koko_u_u 回答日時： 2011/03/20 01:26

> 2, 3, 4 はいいところまでいったのですが

じゃあ、それを補足にどうぞ。

この回答への補足

まず、この場所をお借りする非礼をお詫びします。

いろいろアドバイスをいただいて99パーセント以上証明が完成したのですが、まだ僅かに混乱しているようないないような・・・
これ以上複雑になると辛いので、ここで回答を締め切らせていただきます。
回答してくださった方々には必ずお礼をしますので、しばらく時間をください。

補足日時：2011/03/20 09:24

この回答へのお礼

使っている教材に、
Ｒ[x, y] のイデアルＡ＝(x, y^2), Ｂ＝(x^2, y), Ｃ＝(x^2, y^2) はすべて準素イデアルで、以下が成り立つ。
Ａ∩Ｂ＝Ｃ, √Ａ＝√Ｂ＝√Ｃ＝(x, y)
という例があったのですが、証明が付いていないので自分でやってみました。
準素イデアルの根基が素イデアルになることは知っていたので、復習の意味でそれも証明しました。
その後、これらのことを拡張できないかと考え、質問した４つの命題を自分で作り真偽を調べてみることにしたのです。
1 は簡単だし、2, 3, 4 はいいところまでいったというのは (s, t)＝(1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 2) の場合は証明できたという意味でした。
(s, t) がそれら以外の組合せでも真だと証明できそうなところまで行きかけたのですが、だんだん混乱してきて自信がなくなったので質問しました。
どうもありがとうございました。

お礼日時：2011/03/20 13:20

No.1 回答者： alice_44 回答日時： 2011/03/20 01:24

Ａ∩Ｂ＝Ｃ にしたいなら、u は max じゃなく、LCM では？

この回答へのお礼

アドバイス、ありがとうございました。
証明の途中でパニック状態だったし、(s, t)＝(1, 2), (2, 1) のときに Ａ∩Ｂ＝Ｃ が成り立つことを確認していたので、max じゃなくて LCM が正しいかもしれないと思いました。
(s, t)＝(2, 3) の場合に x^4 + y^4 がＡ∩Ｂと(x^6, y^6) のそれぞれに含まれるかどうか考えて、なんとか落ち着きました。
実はいままで LCM が何のことか知らず、調べてはじめて最小公倍数のことだとわかりました。数学専攻なのに恥ずかしいです。
おかげで知識が増えたことを感謝します。

お礼日時：2011/03/20 13:13