Ｐ(０), Ｐ(１),Ｐ(２),・・・, Ｐ(ｎ)が整数ならば、全ての整数ｋに対してＰ(ｋ)は整数

『ｎを自然数, Ｐ(ｘ)をｎ次の多項式とする。Ｐ(０), Ｐ(１),Ｐ(２),・・・, Ｐ(ｎ)が整数ならば、全ての整数ｋに対してＰ(ｋ)は整数であることを証明せよ。』

数学的帰納法で解けるらしいのですが、分かりません。どなたか教えてください。

No.1 ベストアンサー 回答者： koko_u_ 回答日時： 2007/12/28 03:08

別に帰納法でなくても証明可能だ。

いったん証明を書いてしまったが、削除。途中まで記載。

多項式全体の成す環を R[x] としよう(面倒なので R は実数体)
R[x] の R 上のベクトル空間としての基底を下記のように取る

P_0 = 1, P_1 = x, P_2 = x(x-1), P_3 = x(x-1)(x-2), ...

以下略

No.2 回答者： Tacosan 回答日時： 2007/12/28 13:34

P_k を k! で割っておいた方が安全かも＞#1.

No.3 回答者： Tacosan 回答日時： 2007/12/28 16:40

帰納法で示すなら, 差分をとるのが簡単かなぁ?

P(x) を x の n次多項式とすると, 整数 k に対し P(k+1) - P(k) は k の (n-1)次多項式.

No.4 回答者： koko_u_ 回答日時： 2007/12/28 17:04

>P_k を k! で割っておいた方が安全かも＞#1.

thanx.

No.5 回答者： noname#46750 回答日時： 2007/12/28 20:41

東工大のＡＯ入試問題ですね。

参考サイトを見てください。

参考URL：http://blog.livedoor.jp/enjoy_math/archives/5109 …