最小多項式

ＧＦ（２＾４）の原始元αの最小多項式m1(x)=x^4+x+1とする。
m1(α)＝０から、ＧＦ（２＾４）の元をαのべき表現で表示できました。
ここで、すべての元において最小多項式を求めたいのですが。
講義ノートによると「最小多項式とは、その元を根とする次数最小の多項式」と書いてありました。
そうならば、α＾３の最小多項式は（ｘ－α＾３）のはず、しかし、
ここで、α＾６とα＾１２を導入し、α＾３の最小多項式が
ｍ3（ｘ）＝（ｘ－α＾３）（ｘ－α＾６）（ｘ－α＾１２）
となるらしいです。また、一般的にＡをｆ（ｘ）＝０の根とすると、Ａ＾｛２*i｝もまた、ｆ（ｘ）＝０の根であることは知っているのですが、
なぜ最高次数を３にする必要があったのでしょうか？
最高次数が３以外じゃだめなんですか。例えば（ｘ－α＾３）（ｘ－α＾６）のように。
また、数の候補としてはα＾３、α＾６、α＾１２だけでなく、α＾１８、α＾２４、、、、、、、
膨大に候補があがると思います。α＾３の最小多項式を考えていますが、
ほぼ無限に候補があがるため、これで、すべての元をあらわしてしまいそうなんですが…
こうなると、もはやα＾３のペアとして、α＾６とα＾１２のみならず、
どんな元でもよいと言うことにならないのでしょうか？
もし、ならないのであれば任意の元をかんがえて最小多項式を作ろうとしても、
このような事態は起きないのか？
わからないので是非教えてください。お願いします。

No.1 ベストアンサー 回答者： reiman 回答日時： 2011/06/04 08:28

nを2以上整数としてGF(2^n)上の元αの最小多項式：

GF(2)上の元を係数とする多項式f(x)のうちf(α)=0となる次数最小のもの

f(x)をGF(2)上の元を係数とする多項式としたとき明らかに
(f(x))^2=f(x^2)
であるからもしαをGF(2^n)の元としたときf(α)=0ならば
f(α)=0,f(α^2)=0,f(α^4)=0,…,f(α^(2^k)=0,…

以下問題に戻る
GF(2)上の多項式f(x)をα^3の最小多項式とすると
f(α^3)=0,f(α^6)=0,f(α^12)=0,f(α^24=α^9)=0,f(α^48=α^3)=0
だから
f(x)はα^3,α^6,α^12,α^9を根に持つ
f(x)=(x-α^3)・(x-α^6)・(x-α^12)・(x-α^9)=x^4+x^3+x^2+x+1

No.2 回答者： alice_44 回答日時： 2011/06/04 14:24

最小多項式を定義するには、その係数体を指定しないといけません。

「体F上の最小多項式」とか言うんですよ。
係数体Fは、話題にしている体(ここではGF(16))の部分体を指定します。
係数が何でもよければ、全ての元の「最小多項式」が一次式で済んでしまう
ことになります。