ガロア理論の最小多項式に関しての問題です。 GF(2^4)の原始元αのGF(2)上の最小多項式をM₁

ガロア理論の最小多項式に関しての問題です。
GF(2^4)の原始元αのGF(2)上の最小多項式をM₁(x)=x^4+x+1とする。GF(2^4)の各元のGF(2)上の最小多項式を求めよ。
解)(i)0と1の最小多項式はx,x+1
(ii)αの共役元はα^2,α^4,α^8であるから各々の最小多項式はM₁(x)=(x-α)(x-α^2)(x-α^4)(x-α^8)
=x^4+x+1
となるのですが、これはどうやったら求められるのでしょうか？共役元の最小多項式を(x-α)の形に因数分解するのは分かるのですが、最後に展開した後になぜx^4+x+1となるのでしょうか？他の解M_3,M_5,M_7もなぜ答えが各々x^4+x^3+x^2+x+1,x^2+x+1,x^4+x^3+1となるのか意味が分からないので、どなたか詳しく教えていただけませんか？

No.1 回答者： Tacosan 回答日時： 2020/12/03 18:41

どこまで理解できていてどこで困ってるのさ.

GF(2^4) での演算はできる? 「最小多項式」の意味は知ってる? 「共役元」ってどういうもの? 「M₁」やら「M_3」やらって何? 手や頭を使うつもりはある?

No.2 回答者： ありものがたり 回答日時： 2020/12/03 23:13

＞ φ(xi) が (M*)* の基底であることはわかるのですが、

その点に納得しているのなら、φ(xi) が (M*)* を生成することにも
納得していることになるんじゃないの？ 基底の定義を覚えてる？

(M*)* の任意の元 y が y = ∑(ci)φ(xi) の形で表されるなら、
φ の線型性から y = φ(∑(ci)xi) であり、y の原像 ∑(ci)xi が存在する。
これって、φ が全射だってことだよね。

No.3 ベストアンサー 回答者： ありものがたり 回答日時： 2020/12/03 23:15

ああぁ...

No.2 は誤爆だった。別の質問への回答を送ってしまった。
すまそ。
で、この質問はというと

話の方向が逆。「共役元」の定義は、共通の最小多項式を持つ元のことだから、
a の最小多項式が x^4+x+1 なら、その共役元の最小多項式も x^4+x+1.
これは、自明というか、同語反復でしかない。
むしろ、なぜ a の共役元が a^2, a^4, a^8 と判るのか理由を追うべき。