4x^2-9y^2+28x+49=（2x+3y+7）（2x-3y-7）について

4x^2-9y^2+28x+49
を因数分解しなさいという問題で、解法は
4x^2-9y^2+28x+49
=（4x^2+28x+49）-9y^2
=（2x+7）^2-（3y）^2
=（2x+7+3y）（2x-7-3y）
=（2x+3y+7）（2x-3y-7）・・・（答え）
ですが、
多項式は次数の多いものからかっこでくくるといいと教えられたので、私はこの解法が思いつかず、
4x^2-9y^2+28x+49
=4x（x+7）-（9y^2-49）
=4x（x+7）-（3y+7）（3y-7）
とやってしまい、これ以上進まずに躓いてしまいました。

この因数分解はどのような規則から成り立ち、どうすればこの解法が思いつきますか？

No.5 ベストアンサー 回答者： kabaokaba 回答日時： 2007/03/17 10:17

>多項式は次数の多いものからかっこでくくるといいと教えられたので

これは確かにそうなのですが，
複数の文字がある場合は「どれか一つの文字に注目する」という
視点が必要です．
いわゆる「降べきの順」です

4x^2-9y^2+28x+49
=4x^2+28x-9y^2+49

こうすると，4x^2=(2x)^2 ですので

=(2x)^2 + 14・(2x) -9y^2+49

(2x)をかたまりと考えて，
掛け算して -9y^2+49 足し算して 14 になる式を考えます
一番基本的な因数分解です
49とか14があるので，怪しいのは 7 と疑えますし
そうすれば，-9y^2+49 は-(3y+7)(3y-7) なのもすぐ見えます
かけて -9y^2+49 になるのは -1 3y+7 3y-7 ですので
これを組み合わせて「足して14」となるのならば
y がじゃまなので -3y+7 3y+7 です
ですので

= ( (2x)-3y+7 ) ( (2x)+3y+7 )
=(2x-3y+7)(2x+3y+7)

です。質問文はタイプミスです．

一般論です．
どんな二次式でも因数分解できならば
かならず，1次式と一次式の積になります．
かならず答えは
(ax+by+c)(a'x+b'y+c') という形の式の積です
文字がx,yだけではなくて，
もっと増えても本質は同じです．

つまり，二次式であれば，効率性を考えなければ
かならず，上で挙げたような「降べき」で整理して
たすきがけを行えば必ず解けるんです．

また，(ax+by+c)(a'x+b'y+c')と因数分解できるのであれば
No.2さんのおっしゃるとおり
(ax+by+c)(a'x+b'y+c')=0という方程式は
x=-(bx+c)/a, -(b'y+c)/a'
という「解」を持ちます．そこを逆手にとって
最初から「降べき」に整理して
二次方程式の解の公式に持ち込んでしまうというのもありです．

どうやるにしろ，因数分解は
ひたすら経験を積んで，最短（と思われる方法で）
直感で解けるようになることが必須です．
試行錯誤の積み重ねが必要です．

No.8 回答者： mis_take 回答日時： 2007/03/17 16:05

「次数の多いものからくくる」というのは

4x^2-9y^2+28x+49＝(4x^2-9y^2)+28x+49＝(2x+3y)(2x-3y)+28x+49
のようにするということです。
このあと，たすきがけでできますね。

質問に書いてある答は
「ひとつの文字に注目する」という定石を使った解法で，ｘに注目したものです。
ｙに注目してもできます。
4x^2-9y^2+28x+49＝4x^2+28x-(9y^2-49)＝4x^2+28x-(3y+7)(3y-7)
このあと，やはりたすきがけです。

この回答へのお礼

どうもありがとうございました。

お礼日時：2007/03/18 05:55

No.7 回答者： age_momo 回答日時： 2007/03/17 11:17

xでまとめると考えるなら

4x^2+28x-(9y^2-49)=4x^2+28x-(3y+7)(3y-7)
たすきがけで
={2x-(3y-7)}{2x+(3y+7)}=（2x+3y+7）（2x-3y-7）

yでまとめると考えるなら

4x^2-9y^2+28x+49=-{y^2-(4x^2+28x+49)}
=-{y^2-(2x+7)^2}

と解答と同じ方法になると思います。

>多項式は次数の多いものからかっこでくくるといいと教えられた

私は次数の少ないものでまとめると良いと教えられましたが。。。

参考URL：http://www.crossroad.jp/mathnavi/hint/seisiki/in …

この回答へのお礼

どうもありがとうございました。

お礼日時：2007/03/18 05:55

No.6 回答者： leap_day 回答日時： 2007/03/17 10:19

こんにちは

まず躓いた部分ですが
多項式は次数の多いものからかっこでくくるといい
＝＞これはある文字について降るべきの順にするということです
もしくは2つ以上の文字があってそれぞれが2個以上あるときにくくってみるということ(上の式に ○y とか □xy とかがある場合）

4x^2 -9y^2 +28x + 49
= 4x^2 +28x -(9y^2 -49)
= 4x^2 +28x -(3y+7)(3y-7)

これはたすきがけで求めることができます

2x　　　　(3y+7)　　　　　6xy+14x
2x　　　　-(3y-7)　　　　-6xy+14x
----------------------------
4x^2　　-(3y+7)(3y-7) 　　28x

ですので
= {2x +(3y+7)}{2x -(3y-7)}
= (2x +3y +7)(2x -3y +7)


で、上のほうですが（？？質問の答えこれであってますか？）
これは　a^2 - b^2 = (a + b)(a -b) というのを利用しています
a=2x+7、b=3yとみなして因数分解をしています


因数分解は

ある文字に対して降るべきの順にしてみてたすきがけで分解できないか
いままで習った公式に当てはまる形にならないか
2個ずつ(　）でくくってみて同じ式が出せないか

などのようにして解いていけばいいと思います

No.4 回答者： ht1914 回答日時： 2007/03/17 09:58

こ式ではｘｙの様な項はありません。

ｘとｙが分離しています。だからｘに関する項、ｙに関する項と分けるのはいいと思います。定数項をｙの方に所属させてしまったのが躓いた原因ですね。項の数が２つずつにならなければいけないと思ったのではないでしょうか。定数項は両方に共通だと考えて貰う方が良いです。どちらから来たものか見ただけでは分からないのですから。ｘの方で必要な分を取った残りがｙの方になります。
４ｘ＾２－９ｙ＾２なら２乗の引き算で因数分解出来るわけですからその修正版という予想もたちますね。（２乗）－（２乗）になるのではないかという予想ですね。予想があって試行錯誤が出来ます。
一本道で行き詰まったらそれで終わりというのではなくいろいろ試してみたらいいです。アナタがやられたことは試行錯誤の一つです。それで駄目なら別のことを予想を持って試してみたらいいと思います。

この回答へのお礼

どうもありがとうございました。

お礼日時：2007/03/18 05:55

No.3 回答者： Willyt 回答日時： 2007/03/17 09:38

　次数の多いものから順に集めるというのは因数分解の問題を解く場合の有力な手法です。

しかしそればかりではないのはこの問題を見ても明らかでしょう。
　この問題の場合の秘密は『平方完成』です。これも大変有力な手法の一つですから覚えておくといいですよ。この手法を常に意識していると x に関する項が 4x^2 + 28x となります。これに７の二乗の49 が加わると平方完成ができることはすぐにピンと来ますね。問題をよく見ると定数項がまさに４９なのでシメタということになります。

　その次の手法はＡ＾２ーＢ＾２の形は（Ａ＋Ｂ）（Ａ－Ｂ）の形に因数分解できるのでこれを使うことです。この問題ではＸの項Jについて平方完成をすると残りが -9^2 だけですからまさにそうなっており、出題者の意図がそこにあることが分ります。

　因数分解を解くためにはとにかく沢山の問題をこなすことです。そうすることにより、それぞれの問題の鍵となる手法を頭の中に整理して叩き込んで行くのがコツになります。

この回答へのお礼

どうもありがとうございました。

お礼日時：2007/03/18 05:56

No.2 回答者： KCC-BOSS 回答日時： 2007/03/17 09:27

xの方程式とみて、解の公式を用いるのはどうでしょうか。

参考URL：http://www.hcn.zaq.ne.jp/funahide/math/insu.html

この回答へのお礼

どうもありがとうございました。

お礼日時：2007/03/18 05:56

No.1 回答者： 134 回答日時： 2007/03/17 09:25

ｘについて、降べきの順に並び替える　という手法になると思います。

この回答へのお礼

どうもありがとうございました。

お礼日時：2007/03/18 05:56