(arcsinx)^2 この積分の途中式と答えを教えてください

(arcsinx)^2
この積分の途中式と答えを教えてください

No.2 ベストアンサー 回答者： ありものがたり 回答日時： 2020/06/03 14:00

どうしたらいいか戸惑うような積分は、

被積分関数の中で特に扱いに困る部分を変数で置いて
置換積分に持ち込んでみるのが一般的な手法のひとつ。
私は「臭いものに蓋戦法」と呼んでいる。

今回の場合、arcsin x = θ と置いてみたい。
すると、x = sinθ から dx/dθ = cosθ.
∫(arcsin x)^2 dx = ∫(θ^2) (cosθ)dθ
= (θ^2)(sinθ) - ∫(2θ)(sinθ)dθ
= (θ^2)(sinθ) - 2{ θ(-cosθ) - ∫1(-cosθ)dθ }
= (θ^2)(sinθ) - 2{ θ(-cosθ) + sinθ } + C　　； Cは定数
= (θ^2)(sinθ) + 2θcosθ - 2sinθ + C
= x(arcsin x)^2 + 2(arcsin x)√(1-x^2) - 2x + C.
なんか上手くいった。

No.1 回答者： endlessriver 回答日時： 2020/06/03 13:33

途中計算も答えているよ。

https://www.integral-calculator.com/