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Sin^-1X^2(アークサインエックス2乗)を微分すると 1/√(X^4-1) であってますか?

A 回答 (6件)

違います。


1/√(x^4-1)は|x|>1でしか定義できない関数であり、さすがに違うことはすぐにわかりそうだ。

y=arcsin(x^2)
とおくと
x^2=sin(y)
この式をxで微分すると
2x=cos(y)・dy/dx
(arcsin(x))'=dy/dx=2x/cos(y)
となります。

この回答への補足

ご解答ありがとうございます^^
最後の式の
(arcsin(x))'=dy/dx=2x/cos(y)
のcos(y)は今回の問題だとどのようになりますか?

よろしくお願いいたします。

補足日時:2011/07/20 22:43
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この回答へのお礼

ありがとうございました^^

お礼日時:2011/07/24 16:10

#3です。



A#3の補足質問について

>(2)の範囲では cos(y)>=0なので,(3)より
>のあとのcos(y)がわかりません。
>なぜsin(y)が急にcos(y)になるのですか?

後続の微分を取るところ
>>(3)をxで微分
>>cos(y)y'=2x …(5)
>>y'=2x/cos(y) …(6)
>>y'=2x/√(1-x^4)…(7)
でcos(y)が出て来て(6)でcos(y)を代入消去する必要があるので、
前もってcos(x)を(3)のsin(y)から求めておくわけです。
導出は公式sin^2(y)+cos^2(y)=1 から
cos^2(y)=1-sin^2(y)
y=sin^-1(x^2)の値域から、|y|<π/2でcos(y)>=0なので
>>cos(y)=√{1-(sin(y))^2} ←これに(3)のsin(y)=x^2を代入して
>>=√(1-x^4) …(4)
と cos(y)をxの式で表せる。
これを(6)に代入すれば y'の答えの式(7)が得られるわけです。
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この回答へのお礼

ありがとうございました^^

お礼日時:2011/07/24 16:10

#1のものです。



>(arcsin(x))'=dy/dx=2x/cos(y)   ←ここ間違えていました。 (arcsin(x^2))'= が正しい
>のcos(y)は今回の問題だとどのようになりますか?

cos(y)≧ですので
{cos(y)}^2+{sin(y)}^2=1より
cos(y)=√{1-{sin(y)}^2}
となります。
sin(y)=sin(arcsin(x^2))=x^2 を代入すれば
cos(y)=√(1-x^4)
となります。
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この回答へのお礼

ありがとうございました^^

お礼日時:2011/07/24 16:10

ANo.2


>授業で習ったものがasin(x)の微分公式1/√(1-x^2)で、asin(x^2)は初めてなのです。
なので、asin(x)の微分公式1/√(1-x^2)を微分して求めました。
1)asin(x)の微分公式1/√(1-x^2)から求める方法
2)y=asin(x^2)とおいてx^2=sin(y)を微分して求める方法を教えていただけますか?

1)の微分公式を使うなら、さらに合成関数の微分公式を利用。
g(x)=x^2とおいて{asin(g(x))}'=g'(x)/√{1-g(x)^2}として求める。
2)の方法はANo.1,3で回答されているので彼らに譲る。
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この回答へのお礼

ありがとうございました^^

お礼日時:2011/07/24 16:10

y=sin^-1(x^2) …(1)


sin^-1の定義から -π/2<=y<=π/2 …(2)
sin(y)=x^2 …(3)
(2)の範囲では cos(y)>=0なので,(3)より
cos(y)=√{1-(sin(y))^2}=√(1-x^4) …(4)
(3)をxで微分
cos(y)y'=2x
y'=2x/cos(y)=2x/√(1-x^4)

したがって、
> 1/√(x^4-1) であってますか?
は間違いです。

この回答への補足

ご解答ありがとうございます^^
(2)の範囲では cos(y)>=0なので,(3)より
のあとのcos(y)がわかりません。
なぜsin(y)が急にcos(y)になるのですか?

補足日時:2011/07/20 22:38
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この回答へのお礼

ありがとうございました^^

お礼日時:2011/07/24 16:10

残念!


asin(x)の微分公式1/√(1-x^2)から求めた?
それともy=asin(x^2)とおいてx^2=sin(y)を微分して求めた?
途中計算を補足欄にでも書いてくれればチェックするよ。
(asinはsinの逆関数でsin^(-1)のこと。)

この回答への補足

ご解答ありがとうございます^^
授業で習ったものがasin(x)の微分公式1/√(1-x^2)で、asin(x^2)は初めてなのです。
なので、asin(x)の微分公式1/√(1-x^2)を微分して求めました。

1)asin(x)の微分公式1/√(1-x^2)から求める方法
2)y=asin(x^2)とおいてx^2=sin(y)を微分して求める方法を教えていただけますか?

よろしくお願いいたします。

補足日時:2011/07/20 22:41
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この回答へのお礼

ありがとうございました^^

お礼日時:2011/07/24 16:10

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また、微分で
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まず左辺をxで微分することを考えます。
f(x) = log|x|とおき、g(x) = yとおくと、
log|y| = f(g(x))
ですので、

(log|y|)'
={ f(g(x)) }'
= f'(g(x)) × g'(x)

です。f'(x) = 1/xですのでf'(g(x)) = 1/y、
g'(x) = (y)' = y'より、
(log|y|)'
= f'(g(x)) × g'(x)
= y' / y

です。
y = x^(1/x)を代入すると

(log|y|)'
= y' / y
= y' / { x^(1/x) }

となります。

(log|y|)' = { (1/x)log|x| }'
→y' / { x^(1/x) } = { (1/x)log|x| }'

この両辺に{ x^(1/x) }をかけると

y' = { x^(1/x) } × { (1/x)log|x| }'

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Q∫1/(x^2+1)^2 の不定積分がわかりません

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よろしくおねがいします。

Aベストアンサー

1/(x^2+1)^2 = (x^2+1)/(x^2+1)^2 - x^2/(x^2+1)^2
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Qe^xを微分するとe^xになる理由

大学1年のものです。

(e^x)'=e^xの証明がわかりません。
高校で習ったような気もしますが、習ってないような気もします。

ここの過去の質問も見させてもらったところ、2つほど見つけたのですが、

1)
y=e^x
logy=x
(1/y)y'=1
よって  y'=y=e^x



2)  e^xを無限級数に直して微分



1)の場合d(logx)/dx=1/x…(*)を利用していますが、(*)は(e^x)'=e^xを利用せずに証明できるのでしょうか?

2)の場合、e^xを無限級数に直すためには、テーラー展開をしないとダメなような気がするのですが、テーラー展開をするときに(e^x)'=e^xを利用しなければならないような気がします。



1)、2)とも(e^x)'=e^xの証明に(e^x)'=e^xを利用しているとすればこれらは意味を成さないような気がするのですが…


微分の定義に沿って証明しようともしましたが、

(e^x)'=lim{h→0}(e^x((e^h)-1)/h)

となり、ここで行き詰ってしまいました。



(e^x)'=e^xはなぜ成り立つのでしょうか?
よろしくお願いします。

大学1年のものです。

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2)の場合、e^xを無限級数に直すためには、テーラー展開をしないとダメなよ...続きを読む

Aベストアンサー

orangeapple55さんのおっしゃるとおり、「一般的には」1)も2)も(e^x)'=e^xを用います。
従って1)にも2)にも頼らず、定義によって微分することにしましょう。

(e^x)'
=lim[h→0](e^x((e^h)-1)/h)
=e^xlim[h→0]{((e^h)-1)/h}

となるので、結局問題は
lim[h→0]{((e^h)-1)/h}……(*)
の収束性に帰着します。

そこで、この極限について考察してみましょう。以下、適宜e^xをexp(x)と表現します。

まず、h>0のときについて考えましょう。
このとき、exp(h)>1ですから実数t>0を用いて
exp(h)=1+1/t……(1)
と表すことができます。

指数関数は連続ですから、
lim[h→0]exp(h)=1
ゆえに
lim[h→0]t=∞
つまり、
h→0のときt→∞……(2)
が成り立ちます。

また、h=log(exp(h))を利用すると、(1)よりh=log(1+1/t)……(3)
ですから、(1)、(2)、(3)より、(*)はtを用いて
(*)=lim[t→∞]1/{tlog(1+1/t)}=lim[t→∞]1/log{(1+1/t)^t}
と書き直すことができます。

さて、対数関数も連続ですから、
lim[h→0]log{(1+1/t)^t}=log{lim[h→0]{(1+1/t)^t}}です。
そこで、lim[h→0]{(1+1/t)^t}に注目しましょう。

nを自然数とします。そうすれば、二項定理を用いて
(1+1/n)^n
=1 + nC1*(1/n) + nC2*(1/n)^2 + …… + (1/n)^n
=1 + 1 + (1-1/n)/2! + (1-1/n)(1-2/n)/3! + …… + (1-1/n)(1-2/n)……(1-(n-1)/n)/n!……(4)
と展開できます。

(1+1/(n+1))^(n+1)
を同じように展開すると、(1+1/n)^nに比べて
イ:項数が増え
ロ:個々の項が増大する
ことが容易に確認できますから、(1+1/n)^nはnが増すと単調増加します。
しかも、(4)より、

(1+1/n)^n
<1 + 1/1! + 1/2! + …… 1/n!
<1 + 1 + 1/2 + 1/2^2 + …… + 1/2^(n-1)
<1 + (1-(1/2)^n)/1-1/2
<3

ですから、(1+1/n)^nは上に有界(どんなnをとってきても(1+1/n)^n<MとなるMが存在する。今の場合例えばM=3)です。

ここで公理を使います。
「上に有界かつ単調増加な数列は収束する」
これは実数の連続性を認めないと出てこない公理なのですが、今はとりあえず認めることにしましょう。そうすると、

「(1+1/n)^nは3以下のある値に収束する」

ことが分かります。これを私たちはeと定義したのでした。
以下、証明は省きますが、xを実数としても、(1+1/x)^xはやはりx→∞でeに収束することは容易に類推できると思います。
(証明が気になるなら図書館で解析に関する本を探してみてください。おそらく載っていると思います)

さて、このeを底にとった対数関数を自然対数logと決めたのですから、結局のところ
log{lim[h→0]{(1+1/t)^t}}=log(e)=1
が出ます。よって、(*)=1、つまり、(e^x)'=e^xを示すことができました。h<0についても同様です。

適当なことを言いたくなかったので、長くなってしまいました。すいません。
整理すると、
(1)(1+1/x)^xはx→∞で2.71ぐらいに収束する(収束値をeと名付ける)
これが一番最初にあります。これを用いて、
(2)e^xを指数関数とする
(3)logxをその逆関数とする
これが定義されます。この順番を理解していないと、おかしな循環論法に陥ります。

(注:冒頭で「一般的には」と書いたように、これと違った定義の仕方もあります。
たとえばe^x=1+x/1+x^2/2!+……と先に指数関数を定義してしまう方法。
これらに関しても、順番に注意すれば循環論法に陥らずに公理のみから件の命題を証明することができるでしょう)

最後に、僕は以上でいくつか仮定をしています。
対数関数が連続であること。指数関数が連続であること。
実数の連続性。(1+1/x)^xはxが実数であってもx→∞でeに収束すること。
これらの証明(あるいは公理の必然性)をあたってみることは決して無駄ではないと思います。

orangeapple55さんのおっしゃるとおり、「一般的には」1)も2)も(e^x)'=e^xを用います。
従って1)にも2)にも頼らず、定義によって微分することにしましょう。

(e^x)'
=lim[h→0](e^x((e^h)-1)/h)
=e^xlim[h→0]{((e^h)-1)/h}

となるので、結局問題は
lim[h→0]{((e^h)-1)/h}……(*)
の収束性に帰着します。

そこで、この極限について考察してみましょう。以下、適宜e^xをexp(x)と表現します。

まず、h>0のときについて考えましょう。
このとき、exp(h)>1ですから実数t>0を用いて
exp(h)=1+...続きを読む

Q偏微分の記号∂の読み方について教えてください。

偏微分の記号∂(partial derivative symbol)にはいろいろな読み方があるようです。
(英語)
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正統には∂u/∂x で「partial derivative of u with respect to x」なのかもしれません。
(日本語)
ラウンドディー、ラウンドデルタ、ラウンド、デル、パーシャル、ルンド
MS-IMEはデルで変換します。JIS文字コードでの名前は「デル、ラウンドディー」です。

そこで、次のようなことを教えてください。
(1)分野ごと(数学、物理学、経済学、工学など)の読み方の違い
(2)上記のうち、こんな読み方をするとバカにされる、あるいはキザと思われる読み方
(3)初心者に教えるときのお勧めの読み方
(4)他の読み方、あるいはニックネーム

Aベストアンサー

こんちには。電気・電子工学系です。

(1)
工学系の私は,式の中では「デル」,単独では「ラウンドデルタ」と呼んでいます。あとは地道に「偏微分記号」ですか(^^;
その他「ラウンドディー」「パーシャル」までは聞いたことがあります。この辺りは物理・数学系っぽいですね。
申し訳ありませんが,あとは寡聞にして知りません。

(3)
初心者へのお勧めとは,なかなかに難問ですが,ひと通り教えておいて,式の中では「デル」を読むのが無難かと思います。

(4)
私はちょっと知りません。ごめんなさい。ニックネームは,あったら私も教えて欲しいです。

(2)
専門家に向かって「デル」はちょっと危険な香りがします。
キザになってしまうかどうかは,質問者さんのパーソナリティにかかっているでしょう(^^

*すいません。質問の順番入れ替えました。オチなんで。

では(∂∂)/

Qy=e^x^x 微分 問題

y=e^x^x 微分 問題

y=e^x^xを微分せよ
両辺に自然対数をとる
logy=loge^x^x=x^x(loge)
logy=x^x
両辺に自然対数をとる
log(logy)=logx^x=x(logx)
両辺を微分すると
(1/logy)・(1/y)・y'=logx+1
y'=(logx+1)(logy)・y
y'=(logx+1)・loge^x^x・e^x^x

回答があっているかどうか教えて頂けませんか?
また、間違っている場合は解き方を示して頂けないでしょうか?

以上、よろしくお願い致します。

Aベストアンサー

>y'=(logx+1)・loge^x^x・e^x^x

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とすべきでしょう。あとは合っていると思います。

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y=sinθを満たすθをyで表すと
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θ=sin-1(6.5/12)≒32.8°(度の単位)
または
 ≒0.572[rad](ラジアン単位)
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計算は
Google検索で
arcsin(6.5 / 12) * 180) / π
と入力して検索で
= 32.7971683 (度単位)
または
arcsin(6.5 / 12)
と入力して検索で
= 0.572418572 (ラジアン単位)
と計算結果を求めてくれます。
(Googleには電卓機能が備わっています)

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