No.1ベストアンサー
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空間の定義により dτ の具体的な形は違ってきます。
直交座標系 x,y,z の場合には dτ=dxdydz で、全空間の範囲は
x、y、zとも ‐∞ ~ +∞ となります。
極座標系 r、θ、φ の場合には dτ=r^2sinθdrdθdφ で、全空間の範囲は
r=0~∞、θ=0~π、φ=0~2π となります。
しかし、空間が限定されている時には、全空間の範囲も限られてきます。
例えば、1次元(xだけ)の場合、2次元(x、yだけ)の場合、
1次元井戸形ポテンシャル 0≦x≦ a の場合等々様々です。
さて、ψ^2=A^2sin^2x/λ の場合は、変数はxだけですから1次元です。
それでは、全空間と云う積分範囲は -∞~∔∞ でしょうか?
ψ=Asin(x/λ)は周期関数ですから、-∞~∔∞ は意味を成さずに、
1周期x/λ=0~2π 、つまりx=0~2πλ、で十分と云うことになります。
よって
∫ψ^2dτ=A^2∫sin^2(x/λ)dx [x=0~2π]
=λA^2∫sin^2(X)dX [x/λ=X、X=0~2πλ]
=λA^2[X/2 - sin(2X)/4]
=λA^2[πλ‐0/4-0-0]
=πλ^2*A^2 =1
したがって
A=1/(λ√π)
つまり波動関数は ψ=sin(x/λ)/(λ√π)となります。
検算は忘れずに。
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