大学数学の問題です。 V=R[x]_n(高々n次の多項式)における線形写像F(f)(x)=f'(x)

大学数学の問題です。

V=R[x]_n(高々n次の多項式)における線形写像F(f)(x)=f'(x)に対して、次の問いに答えよ。
(1)Vの標準基をB^V={1,x,…,x^n}とする。Fの(B^V,B^V)表現行列Aを求めよ。
(2)Aのジョルダン標準形を求めよ。また、その標準形を得るためのVの基を1つ構成せよ。

解き方が分かりません。
よろしくお願いいたします。

質問者からの補足コメント

• ありがとうございます！
  (2)のVの基というのはどの部分にあたりますか？

    補足日時：2020/07/20 19:45

No.1 回答者： ありものがたり 回答日時： 2020/07/20 19:42

(1)

B^V の各元を F で移して、
1’ = 0,
x’ = 1,
(x^2)’ = 2x,
...,
(x^n)’ = nx^(n-1).

これを表すには、
表現行列は A =
　0　1　0　0　...　0
　0　0　2　0　...　0
　0　0　0　3　...　0
　...
　0　0　0　0　...　n
　0　0　0　0　...　0.

(2)
A は上三角行列であり、対角成分が全て 0 である。
A の固有値は 0 が n 重根であることが判る。

テイラー展開などを思い出して
( (1/n！)x^n )’ = (1/(n-1)！)x^(n-1) に気づけば、

A のジョルダン化は、
J =
　0　1　0　0　...　0
　0　0　1　0　...　0
　0　0　0　1　...　0
　...
　0　0　0　0　...　1
　0　0　0　0　...　0,
P =
　1　0　0　　0　　...　0
　0　1　0　　0　　...　0
　0　0　1/2　0　　...　0
　0　0　0　　1/6　...　0
　...
　0　0　0　　0　　...　1/n!
と置いて A = P J P^-1.